Reihen auf konvergenz prüfen mit unendlich / unendlich

Question

hi,

ich soll jetzt konvergenzkriterien anwenden, um die konvergenz zu prüfen.

Meine Reihe sieht folgendermaßen aus:

a) \( \frac{3 \cdot 1 !}{1^{1}}+\frac{3^{2} \cdot 2 !}{2^{2}}+\frac{3^{3} \cdot 3 !}{3^{3}}+\cdots \)

Ich habe das etwas verallgemeinert zu \( \sqrt[n]{\frac{3^n*n!}{n^n}} \)  umgeschrieben.

Dann habe ich das Wurzelkriterium angewendet und komme da auf \( \lim\limits_{n\to\infty} \) \( \frac{3*\sqrt[n]{n!}}{n} \).

Ich hab hier ein Buch zu Höhere Mathematik vorliegen und da steht, dass die \( \sqrt[n]{n!} \)  → unendlich

Also habe ich da (3*unendlich)/unendlich

Mache ich etwas falsch? Oder wie soll das da weiter gehen?

Würde mich über hilfe sehr freuen,

Liebe Grüße

Comments

Ich hab da jetzt 3/e raus.

Ist das richtig? Hat das auch jemand raus?

Answer 1

Aloha :)

Wir bauen erstmal die Summenglieder formal etwas um:$$a_n=\sqrt[n]{\frac{3^n\cdot n!}{n^n}}=\sqrt[n]{\left(\frac{3}{n}\right)^n}\cdot\sqrt[n]{n!}=\frac{3}{n}\sqrt[n]{n!}$$Man sieht sofort, dass die Reihe nicht konvergiert, weil nach dem Satz von Oivier nicht nur \((a_n)\) eine Nullfolge sein muss, sondern sogar \((n\cdot a_n)\) eine Nullfolge sein muss.

Vermutlich habt ihr den Satz von Olivier aber nicht in der Vorlesung gehabt. Ihr habt aber sicher das Wurzelkriterium und das Quotientenkriterium behandelt. In der Vorlesung beweist man in der Regel das Wurzelkriterium und zeigt dann, dass für \(a_n>0\) gilt:$$\lim\limits_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=q\quad\implies\quad\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=q$$woraus dann die Gültigkeit des Quotientenkriteriums folgt.

Dies nutzen wir nun und betrachten \(b_n\coloneqq\frac{n^n}{n!}\):$$\frac{b_{n+1}}{b_n}=\frac{\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{n^n}{n!}}=\frac{(n+1)^{n+1}}{(n+1)!}\cdot\frac{n!}{n^n}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\cdot\frac{n!}{(n+1)!}$$$$\phantom{\frac{b_{n+1}}{b_n}}=\frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}\cdot\frac{1}{n+1}=\frac{(n+1)^n}{n^n}=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\to e$$Mit dem oben zitierten Satz gilt dann sofort:$$\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{b_n}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=e$$

Für den Grenzwert von unseren Summengliedern \(a_n\) bedeutet das aber:$$\lim\limits_{n\to\infty}a_n=3\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n!}{n^n}}=\frac{3}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\frac{n^n}{n!}}}=\frac{3}{e}>1$$Damit ist \((a_n)\) keine Nullfolge und daher konvergiert die Reihe nicht.

Comments

Aloha :)

Wie von dir gewohnt sehr ausführliche antworten und sehr hilfreich.

Tausend dank :)