Funktion mit Scheitelpunktform für Breite eines Geheges mit 100m ZaunmateriAl aufstellen?

Question

Aufgabe:

An ein Stallgebäude angrenzend soll mit 100m ZaunmateriAl ein rechteckiges Gehege abgetrennt werden. Das Gehege soll hierbei möglichst groß werden. Bestimme die Breite x des Geheges so, dass der Flächeninhalt möglichst groß ist. Stelle hierzu eine Funktion für die Fläche auf die von x abhängt. Anschließend kannst du aus der scheitelpunktform den Scheitelpunkt als Maximum der Funktion ablesen.

Problem/Ansatz:

Ich hab garkein Plan und wäre um Lösungen sehr dankbar :))

Answer 1

Hallo :-)

die Fläche vom Rechteck kannst du so beschreiben: \(A(x,y)=x\cdot y\).

\(x\) ist die Größe im Bild und \(y\) die Länge der Seite parallel zum Stall.

Die Abzäunung kannst du durch seine Länge beschreiben:

\(100=x+y+x=2x+y\). Und jetzt setzt man diese beiden Gleichungen ineinander ein: \(y=100-2x\) in die Flächenformel:

\(A(x)=x\cdot y=x\cdot (100-2x)=-2x^2+100x\)

Scheitelpunktform von \(A\):

\(A(x)=-2(x^2-50x)=-2[(x-25)^2-625]=-2(x-25)^2+1250\). Also hast du \(S=(25/1250)\) als Scheitelpunkt.

Answer 2

Fläche des Geheges  A(x)= (100-2x)*x

                                         = -2x^2 + 100x

                                          = -2( x^2 - 50x + 625 - 625)

                                          = -2( x - 25)^2  - 625)

                                         =  2( x - 25)^2  + 1250

Der Graph ist eine nach unten geöffnete Parabel mit Scheitel ( 25 ; 1250 )

also größter Wert 1250 bei x=25.

==>   Das Gehege sollte 25m * 50m sein und hätte dann

die größtmögliche Fläche von 1250m^2 .