Wie viele Chips sind höchstens in der Box?

Question

Aufgabe:

Eine Box enthält nur grüne, rote, schwarze und blaue Chips. Nehme ich 27 Chips aus der Box, so ist mindestens ein grüner dabei. Nehme ich 25 Chips aus der Box, so ist mindestens ein roter dabei. Nehme ich 22 Chips aus der Box, so ist mindestens ein schwarzer dabei. Nehme ich 17 Chips aus der Box, so ist mindestens ein blauer dabei.

Problem/Ansatz:

Wie viele Chips sind höchstens in der Box ?

Answer 1

Erste Überlegungen:

17 blaue

6 schwarze

3 rote

1 grüner

Das wären 27 Chips. Allerdings ist das die Mindestanzahl.

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Wie viele höchstens?

"17 Chips entnehmen, mindestens 1 blauer" bedeutet, dass es höchstens 35 sein können, wenn es nur 1 blauen gibt. Es kann also maximal 16 nicht-blaue geben.

Ebenso kann es maximal

21 nicht-schwarze,

24 nicht-rote und

26 nicht-grüne geben.

s+r+g=16

b   +r+g=21

b+s   +g=24

b+s+r    =26

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Daraus folgt

b-s=5

b-r=8

b+s+r=26

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b-s=5

2b+s=34

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3b=39

b=13

s=8

r=5

g=3

Alle zusammen also 29.

:-)

Comments

Ich bin ja nicht das große Mathe-Genie,...

aber zur ersten Überlegung,... Mindestanzahl von MontyPython

gehen wir mal von der Überlegung wie angegeben aus 17 blaue, 5 schwarz, 3 rote und 2 grüne = 27 Chips

1. nehme ich also 17 Chips raus und ich erwische 5 schwarze (s) + 3 rote (s) + 2 grüne (g) - so habe ich schon mal 10 entnommen - der 11. Chip muss also ein blauer sein,...   somit wäre das erfüllt

2. wie sieht es aber aus, wenn ich 22 Chips aus der Box raus nehme un es muss ein roter dabei sein?

--> ich erwische 17 blaue und die 5 s + 2 g → somit habe ich leider keinen roten erwischt

--> obige Überlegung ist meiner Ansicht nach falsch!!

3. Es müsste hier lauten:    17 blaue + 6 schwarze + 3 rote + 1 grüne

Probe:

* 17 raus nehmen einen blauen erwischen → erfüllt

* 22 raus einen schwarzen dabei → 17b+3r+1g = 21 somit muss der 22. ein schwarzer sein

* 25 raus 1 roter soll dabei sein → 17b+6s+1g = 24 somt muss der 25. ein roter sein

* 27 raus und 1 grüner muss dabei sein → klar muss alle raus nehmen damit ich den hab -->  das hätten wir auch schneller haben können - aber dann hätten wir nicht gewusst wie viel r und s wir hättten   ;-)

Somit im Endergebnis obiges Mindestanzahl richtig - aber falsch aufgeteilt,...

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die eigentliche Lösung ist korrekt ;-)

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Danke Bumbers,

ich habe es korrigiert.

Eigentlich hatte ich auch erst deine Zahlen und habe mich dann vertippt.

:-)

Answer 2

Nehme ich 27 Chips aus der Box, so ist mindestens ein grüner dabei.

26 Chips sind nicht grün
I. b + r + s = 26

Nehme ich 25 Chips aus der Box, so ist mindestens ein roter dabei.

24 Chips sind nicht rot
II. b + g + s = 24

Nehme ich 22 Chips aus der Box, so ist mindestens ein schwarzer dabei.

21 Chips sind nicht schwarz
III. b + g + r = 21

Nehme ich 17 Chips aus der Box, so ist mindestens ein blauer dabei.

16 Chips sind nicht blau
IV. g + r + s = 16

Ich addiere die Gleichungen I - IV zusammen

3·b + 3·g + 3·r + 3·s = 87

und teile die Gleichung durch 3

b + g + r + s = 29

Wir brauchen 29 Chips. Ziehen wir von der letzten Gleichung nun jeweils eine der vier ersten Gleichungen ab können wir auch die Anzahl der Chips in den einzelnen Farben bestimmen.

b = 13 ∧ g = 3 ∧ r = 5 ∧ s = 8

Comments

Gerade der viel einfachere Weg, alle Gleichungen zu addieren und durch 3 zu teilen, steht nicht drin.

Aber es wundert mich nicht, dass du das nicht siehst.

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Wieso kann man von Anfang an in I Gleichheit voraussetzen? Müsste es nicht "kleiner gleich" sein?

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Das ist korrekt, man erhält dann höchstens 29 Chips, was ja auch gefragt war.

Möglich wären aber auch 27 Chips oder 28 Chips:

Grün: 1 Chip
Rot: 3 Chips
Schwarz: 6 Chips
Blau: 17 Chips

Gesamt: 27 Chips

oder

Grün: 2 Chips
Rot: 4 Chips
Schwarz: 7 Chips
Blau: 15 Chips
Gesamt: 28 Chips

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Wieso kann man von Anfang an in I Gleichheit voraussetzen? Müsste es nicht "kleiner gleich" sein?

Wenn man kleiner gleich ansetzt, dann erhält man ja nicht die höchste Anzahl.

Wenn ich Gleichheit ansetze, dann nehme ich die maximal mögliche Anzahl an Chips dieser Farben.

Wenn sich WolframAlpha nicht verrechnet hat und nicht nach der höchsten Anzahl an Chips gefragt ist, sollte es insgesamt 105 Lösungen geben.

84 Lösungen mit 27 Chips,
20 Lösungen mit 28 Chips und
1 Lösung mit 29 Chips

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Das Problem ist - wenn man nichts weiter überlegt - ein lineares Optimierungsproblen mit 4 Ungleichungen, Ziel: maximiere die Summe. Bei einem solchen Problem kann msn nicht (ohne weiteres) Wissen, dass die Ungleichungen durch Gleichungen ersetzt werden können.

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Ziel: Maximiere die Summe.

Ich kann doch keine höhere Gesamtsumme erhalten, wenn bereits alle Teilsummen maximal sind.

Wenn ich also bei der Bedingung

b + r + s <= 26

einen blauen, roten oder schwarzen Chip wegnehmen kann, würde sich das ja nur lohnen, wenn ich dafür von den grünen Chips zwei hinzunehmen kann.

Aber da auch alle anderen Teilsummen mit den grünen Chips bereits maximal sind, kann ich ja nicht einfach mehr grüne Chips dazulegen, wie ich von einer anderen Farbe weggenommen habe.

D.h. durch das Wegnehmen eines Chips einer Farbe können wir nicht die Gesamtanzahl der Chips erhöhen.

Das würde insgesamt nur gehen, wenn die Chips andere Koeffizienten hätten, also wenn ich durch das Wegnehmen eines roten Chips zwei blaue hinzunehmen könnte.

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b + r + s <= 26
b + g + s <= 24
b + g + r <= 21
g + r + s <= 16

Auch hier können wir die Summe bilden

3·b + 3·g + 3·r + 3·s <= 87
3·(b + g + r + s) <= 87

Jetzt sieht man doch auch sehr gut, dass die Summe nur maximal sein kann, wenn jede der Teilsummen maximal ist.

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Eben. Ich halte es für philologisch, fachlich und didaktisch geboten, das oder ähnliches am Amfang einer Antwort zu erklären. Die Schlussfolgerung aus Deinem ersten Satz, wäre korrekt: Höchstens 26..."

Answer 3

Ein _ganzzahliges_ lineares Optimierungsproblem, würde ich sagen.

Comments

Der Beitragsschubser möge meinen Kommentar wieder dorthin zurückschubsen, wo ich ihn hingeschrieben habe. Weil sonst out-of-context. Nämlich unmittelbar unter den Kommentar "lineares Optimierungsproblem".