Ermittlen Sie, für welche Werte von α das Integral konvergiert und berechnen Sie den Wert des Integrals für diese αs.

Question

Aufgabe:

Höhere Mathematik 2

Problem/Ansatz:

Ermittlen Sie, für welche Werte von $\alpha$ das Integral $\int \limits_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt{x^{2}+9}}-\frac{\alpha}{x+4}\right) d x$ konvergiert und berechnen Sie den Wert des Integrals für diese $\alpha \mathrm{s}$.

Answer 1

Bestimme eine Stammfunktion $F(x)$ des Integranden.

Bestimme $\alpha$ so, dass $\lim\limits_{x\to\infty} F(x)\,\mathrm{d}x$ existiert.

Answer 2

Aloha :)

Beide Integrale kann man zu Standard-Integralen umformen:

$$I_1=\int\frac{dx}{\sqrt{x^2+9}}=\int\frac{dx}{3\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2+1}}=\int\frac{3d\left(\frac{x}{3}\right)}{3\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2+1}}\stackrel{u\coloneqq\frac{x}{3}}{=}\int\frac{du}{\sqrt{u^2+1}}$$$$\phantom{I_1}=\operatorname{arcsinh}(u)+c_1=\ln\left(u+\sqrt{u^2+1}\right)+c_1=\ln\left(\frac{x}{3}+\sqrt{\left(\frac{x}{3}\right)^2+1}\right)+c_1$$$$\phantom{I_1}=\ln\left(\frac{x}{3}+\frac{1}{3}\sqrt{x^2+9}\right)+c_1=\ln\left(\frac{1}{3}\right)+\ln\left(x+\sqrt{x^2+9}\right)+c_1$$$$\phantom{I_1}=\ln\left(x+\sqrt{x^2+9}\right)+\left(c_1+\ln\left(\frac{1}{3}\right)\right)=\ln\left(x+\sqrt{x^2+9}\right)+\text{const}$$$$I_2=\int\frac{\alpha}{x+4}\,dx=\alpha\ln(x+4)+\text{const}$$

Damit haben wir also gefunden:

$$I(y)\coloneqq\int\limits_0^y\left(\frac{1}{\sqrt{x^2+9}}-\frac{\alpha}{x+4}\right)dx=\left[\ln\left(x+\sqrt{x^2+9}\right)-\alpha\ln(x+4)\right]_0^y$$$$\phantom{I(y)}=\left(\ln\left(y+\sqrt{y^2+9}\right)-\alpha\ln(y+4)\right)-\left(\ln\left(3\right)-\alpha\ln(4)\right)$$$$\phantom{I(y)}=\ln\left(\frac{y+\sqrt{y^2+9}}{(y+4)^\alpha}\right)-\ln\left(\frac{3}{4^\alpha}\right)$$

Der zweite Logarithmus ist konstant und spielt bei der nun folgenden Grenzwertbetrachtung $y\to\infty$ zunächst keine Rolle. Im ersten Logarithmus gehen für $y\to\infty$ sowohl der Zähler als auch der Nenner gegen $\infty$, sodass wir die Regel von L'Hospital anwenden können:

$$\lim\limits_{y\to\infty}\left(\frac{y+\sqrt{y^2+9}}{(y+4)^\alpha}\right)=\lim\limits_{y\to\infty}\left(\frac{1+\frac{y}{\sqrt{y^2+9}}}{\alpha(y+4)^{\alpha-1}}\right)=\lim\limits_{y\to\infty}\left(\frac{1+\frac{1}{\sqrt{1+\frac{9}{y^2}}}}{\alpha(y+4)^{\alpha-1}}\right)$$

Der Zähler geht nach Anwendung von L'Hospial für $y\to\infty$ gegen $2$. Damit auch der Nenner gegen einen festen Wert konvergiert, muss $\alpha=1$ sein. In diesem Fall konvergiert der Nenner gegen $1$ und somit konvergiert auch der ganze Bruch gegen $2$.

Das uneigentliche Integral exisitiert also nur für $\alpha=1$:

$$I(\infty)=\ln(2)-\ln\left(\frac{3}{4}\right)=\ln(2)+\ln\left(\frac{4}{3}\right)=\ln\left(2\cdot\frac{4}{3}\right)=\ln\left(\frac{8}{3}\right)\quad\text{für }\alpha=1$$