Aloha :)
Die Normalparabel hat die Gleichung \(f(x)=x^2\) und die Ableitung \(f'(x)=2x\).
Die Tangente an \(f(x)\) im Punkt \(x_0\) lautet: \(t(x)=f(x_0)+f'(x_0)\cdot(x-x_0)\)
Damit bestimmen wir zuerst die Tangenten in den Punkten \(A(-1|1)\) und \(B(1|1)\):$$t_A(x)=f(-1)+f'(-1)\cdot(x+1)=1+(-2)\cdot(x+1)=-2x-1$$$$t_B(x)=f(1)+f'(1)\cdot(x-1)=1+2\cdot(x-1)=2x-1$$
Zur besseren Vorstellung lassen wir uns die Situation aufzeichnen:
~plot~ x^2 ; -2x-1 ; {-1|1} ; 2x-1 ; {1|1} ; 1*(x>=-1)*(x<=1) ; {0|-1} ; [[-2|2|-1,5|1,5]] ~plot~
Die gesuchte Fläche setzt sich wie folgt zusammen:$$F=F_{\text{Dreieck}}-\underbrace{\left(F_{\text{Rechteck}}-\int\limits_{-1}^1x^2dx\right)}_{=\text{Fläche der Parabel-"Schale"}}$$
\(F_{\text{Dreieck}}\) ist die Fläche des großen Dreiecks \((1|1),(-1|1),(0|-1)\). Es hat die Breite \(2\) und die Höhe \(2\). Daher ist seine Fläche \(2\) (Grundseite mal halbe Höhe).
\(F_{\text{Rechteck}}\) ist die Fläche des Rechtecks \((1|0), (1|1), (-1|1), (-1|0)\). Es hat die Breite \(2\) und die Höhe \(1\). Daher ist seine Fläche \(2\) (Grundseite mal Höhe).
\(\int\limits_{-1}^1x^2dx\) ist die Fläche zwischen der \(x\)-Achse und der Parabel im Intervall \([-1|1]\). Wenn wir diese von der Rechteck-Fläche subtrahieren, bleibt die Fläche der Parabel-Schale übrig.
Von der Fläche des großen Dreiecks müssen wir die Fläche der Parabel-"Schale" abziehen, um die gesuchte Fläche zu erhalten.
$$F=2-\left(2-\left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1\right)=\frac{1}{3}-\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{2}{3}$$
