Für welchen Parameterwert a hat das eingeschlossene Flächenstück die maximale Größe?

Question

Aufgabe:

für 0<a<2 schließt die Parabeln zu fa(X)= a*(x²-a²) und ga(X) = 4*((1/a)*(x²)-a) ein Flächenstück der Maßzahl A(a) ein. Für welchen Parameterwert a hat das eingeschlossene Flächenstück die maximale Größe?

Answer 1

Aloha :)

$$f_a(x)=a(x^2-a^2)\quad;\quad g_a(x)=4\left(\frac{x^2}{a}-a\right)\quad;\quad 0<a<2$$Die eingeschlossene Fläche $A(a)$ erhalten wir durch Integration der Differenzfunktion zwischen ihren Nullstellen:$$d(x)\coloneqq f_a(x)-g_a(x)=a(x^2-a^2)-4\left(\frac{x^2}{a}-a\right)=a(x^2-a^2)-\frac{4}{a}\left(x^2-a^2\right)$$$$\phantom{d(x)}=\left(a-\frac{4}{a}\right)(x^2-a^2)=\frac{a^2-4}{a}(x-a)(x+a)$$

Die Nullstellen der Differenzfunktion $d(x)$ liegen also bei $x=-a$ und $x=a$. Damit ist:

$$A(a)=\left|\int\limits_{-a}^ad(x)dx\right|=\left|\frac{a^2-4}{a}\int\limits_{-a}^a(x^2-a^2)dx\right|=\left|\frac{a^2-4}{a}\left[\frac{x^3}{3}-a^2x\right]_{-a}^a\right|$$$$\phantom{A(a)}=\left|\frac{a^2-4}{a}\left[\frac{x^3}{3}-a^2x\right]_{-a}^a\right|=\left|\frac{a^2-4}{a}\left[\left(\frac{a^3}{3}-a^3\right)-\left(-\frac{a^3}{3}+a^3\right)\right]\right|$$$$\phantom{A(a)}=\left|\frac{a^2-4}{a}\left(-\frac{4}{3}a^3\right)\right|=\frac{4(4-a^2)}{3}a^2=\frac{16}{3}a^2-\frac{4}{3}a^4$$

Zur Bestimmung der maximalen Größe dieser Fläche $A(a)$ leiten wir ab:

$$A'(a)=\frac{32}{3}a-\frac{16}{3}a^3=\frac{16}{3}a(2-a^2)=\frac{16}{3}a(\sqrt2-a)(\sqrt2+a)$$Wegen $0<a<2$ kommt nur die Nullstelle $a_0=\sqrt2$ als Kandidat in Betracht. Wir checken noch kurz, ob es sich tatsächlich um ein Maximum handelt:

$$A''(a)=\frac{32}{3}-\frac{48}{3}a^2=\frac{32}{3}-16a^2\implies A''(\sqrt2)=\frac{32}{3}-32<0\implies\text{Maximum}$$

Das Maximum der eingeschlossenen Fläche liegt daher bei $a_0=\sqrt2$.

Comments

$\phantom{d(x)}=\left(a-\frac{4}{a}\right)(x^2-a^2)=\frac{a^2-4}{a}(x-a)(x+a)$

Wie hast du es hier zusammengefasst? (Wie bist du auf (a-4/a) gekommen?

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$$\left(a-\frac{4}{a}\right)(x^2-a^2)=\left(\frac{a^2}{a}-\frac{4}{a}\right)(x^2-a^2)=\frac{a^2-4}{a}\cdot(x^2-a^2)$$$$=\frac{a^2-4}{a}\cdot(x-a)(x+a)$$

Answer 2

Hallo

eigentlich muss man die 2 Funktionen gleichsetzen und die Nullstellen bestimmen, so wie sie da stehen schneiden sie sich aber etwa für x=1,5 nicht?

falls das falsch beschrieben ist einfach die 2 Nullstellen (in Abhängigkeit von a ) bestimmen dann den Betrag von ∫f-g   zwischen den Nullstellen bestimmen  ergibt eine funktion von a, deren Max bestimmen.

Gruß lul

Comments

Okay. Ich glaube nicht, dass es für x=1,5 ist. Wie kann ich nun den Parameter a bestimmen?