Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten folgender Reihen?

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten folgender Reihen :

∑ _∞ⁿ⁼¹  (1+ 1/n)^-2n

Answer 1

Aloha :)

$$S\coloneqq\sum\limits_{n=1}^\infty\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-2n}$$

Damit die Reihe konvergiert, müssen ihre Summanden eine Nullfolge bilden:$$\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-2n}=\frac{1}{\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}}=\frac{1}{\left(1+\frac{2}{2n}\right)^{2n}}\to\frac{1}{e^2}>0$$

Da die Summanden keine Nullfolge bilden, divergiert die Summe \(S\).

Answer 2

= ((1+1/n))^n)^(-2) -> lim = e^(-2) , da lim (1+1/n)^n = e