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Es sei eine lineare Abbildung \( L_{U}: \mathbb{R}^{3} \rightarrow \mathbb{R}^{3} \) gegeben durch die Matrix

\( U=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 0 \\ 2 & -2 & 0 \\ 4 & -2 & -1\end{array}\right) \)

a) Entscheiden Sie begründet, ob es eine Basis von R3 gibt, bezüglich L_u als Diagonalmatrix darstellen lässt.

Ich habe das Charakteristische Polynom ausgerechnet: x3-2x2-x

Nullstellen bei (0,-1,-1)

Nullstelle (0):

μ alg = 1

μ geo = 1

Nullstelle (1):

μ alg = 2

μ geo = 2

Da μ geo und μ alg jeweils gleich sind, würde ich sagen, die die Matrix sich als Diagonalmatrix darstellen lässt.

Ist das soweit korrekt?

Weil mein prof. hat folgende Antwort geliefert:

"Die Vereinigung der Basen der Eigenräume zu den Eigenwerten 0 un 1 hat Kardinalität 3."

Was genau meint er damit?

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Der meint: Wenn man eine Basis aus Eigenvektoren zum

Eigenwert 0 nimmt und  eine Basis aus Eigenvektoren zum

Eigenwert 1, dann hat man insgesamt drei linear unabhängige

Eigenvektoren und die bilden eine Basis von R3 und

bzgl. dieser Basis hat man eine Diag.matrix.

Dein Argument sagt ungefähr das Gleiche aus, denn

die Summe der geometrischen Vielfachheiten ( Das ist

ja jeweils die Dimension des Eigenraumes.) ist gleich

der Dimension des gesamten Raumes.

Avatar von 289 k 🚀

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