Inhalt der Fläche berechnen

Question

Die Aufgabe ist; Der Graph der natürlichen Exponentialfunktion schließt mit der Tangente (t = 7,39 x - 7,39)  im Punkt x = 2  und den Koordinatenachsen eine Fläche ein. Berechnen Sie den Inhalt dieser Fläche. Nun, weiß ich, dass ich in diesem Schritt das Integral bestimmen muss aber was sind die Grenzen?

Answer 1

Aloha :)

Wir lassen uns die Situation plotten:

~plot~ 7,39*x-7,39 ; e^x ; {2|7,39} ; x=2 ; [[0|2,2|0|8]] ~plot~

Von der Fläche unter der \(e^x\)-Funktion im Intervall \([0|2]\) müssen wir die Fläche unter der Tangente im Intervall \([1|2]\) subtrahieren:

$$F=\int\limits_0^2e^x\,dx-\int\limits_1^2\left(7,39x-7,39\right)dx=\left[e^x\right]_0^2-\left[\frac{7,39}{2}x^2-7,39x\right]_1^2$$$$\phantom{F}=\left(e^2-1\right)-\left[\left(\frac{7,39}{2}\cdot4-7,39\cdot2\right)-\left(\frac{7,39}{2}\cdot1-7,39\cdot1\right)\right]$$$$\phantom{F}=e^2-1-7,39\cdot\frac{1}{2}=e^2-4,695\approx2,694056$$

Comments

In den Lösungen steht, dass das Ergebnis 2,69 sein muss

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Davon muss noch der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten 1 und e² abgezogen werden. F = e² - 1 - e²/2 = e²/2 - 1 ≈ 2,69.

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Ja, ich hatte mich vertan, habe meine Antwort korrrigiert ;)

Answer 2

f ( x ) = e^x
f ( 2 ) = 7.39
( 2 | 7.39 )
f ´( x ) = e^x
f ´ ( 2 )  = 7.39
Tangente
y = m * x + b
7.39 = 7.39 * 2 + b
b = - 7.39

t ( x ) = 7.39 * x -7.39

Fläche zwischen f und x= 0 bis x = 2
S = e^x
A = e^2 - 1 = 6.389056099

Fläche unterhalb der Tangente zwischen
1 und 2 ( Dreieck , siehe den Graph )
1 * e^2 / 2 = 3.6945

6.38 - 3.6945 =  2.69