Quader in Pyramide optimieren

Question

Aufgabe:

Einer Pyramide mit bekannter Unterkantenlänge $a$ und Höhe $h$ soll ein Quader mit quadratischer Grundfläche (Seitenlänge $x$ und Höhe $y$) einbeschrieben werden, der maximales Volumen hat.

1. Formulieren Sie das nichtlineare Optimierungsproblem mit Nebenbedingungen.

2. Geben Sie die optimale Lösung an.

Problem/Ansatz:

Volumen vom Quader$$V(a_q,h_q) = a_q^2 \cdot h_q$$wobei $a_q$ = Seitenlänge und $h_q$ = Höhe des Quaders

Höhe vom Quader mithilfe des Strahlensatzes:$$h_q =\left(a_p- \frac{a_q}{a_p}\right)\cdot h_p$$$h_p$, $a_p$ = Höhe und Seitenlänge der Pyramide.

Mein Optimierungsproblem lautet also:

Max$$V(a_q,h_q) = a_q^2 \cdot h_q$$

Unter der Nebenbedingung:$$h_q = \left(q_p-\frac{a_q}{a_p}\right)\cdot h_p$$

Und ab da weiß ich nicht wie es weiter geht geschweige denn ob der Ansatz korrekt ist.

Answer 1

Hallo Peter,

Willkommen in der Mathelounge!

... geschweige denn ob der Ansatz korrekt ist.

nicht so ganz. Der Ausdruck '(ap-aq/ap)' kann schon deshalb nicht richtig sein, da Du von einer Strecke $a_p$ den dimensionslosen Ausdruck $a_q/a_p$ abziehst. Du meinst wahrscheinlich:$$h_q =\left(\frac{a_p- a_q}{a_p}\right)\cdot h_p$$Bedenke bitte, dass Punktrechnung (also z.B. Division) vor Strichrechnung (z.B. Subtraktion) geht. So ist
  ap - aq / ap = ap - (aq / ap)
und nichts anderes!
Ansonsten setze doch die Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein, leite ab und setze die Ableitung zu 0:$$a_p=a, \quad h_p = h, \quad a_q=x, \quad h_q=y\\ \begin{aligned} V(x,y) &= x^2 \cdot y, \quad &&y = \left( \frac{a - x}{a}\right)h \\ V(x) &= x^2 \cdot \left( \frac{a - x}{a}\right)h \\ &= x^2 \left( 1 - \frac xa\right) h \\ &= x^2h - x^3\frac ha \\ V' &= 2xh - 3x^2 \frac ha \to 0 \\ \implies 2x_{opt}h &= 3x_{opt}^2 \frac ha &&|\, \cdot \frac a{x_{opt}h} \\ 2a &= 3x_{opt} \\ x_{opt} &= \frac 23 a\end{aligned}$$und daraus folgt dann, dass die Höhe des Quaders ein Drittel der Höhe der Pyramide ist.
Prüfe bitte, ob die zweite Ableitung kleiner als 0 ist (ist aber der Fall!)
Gruß Werner

Comments

Aber das ist doch dann nicht die Optimale Lösung wenn das Optimierungsproblem gelöst wird ? Müsste man nicht noch ein verfahren anwenden um das herauszufinden?

Bei mir kommt als 2te Ableitung 2h-6xh/a heraus.

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Aber das ist doch dann nicht die Optimale Lösung wenn das Optimierungsproblem gelöst wird ?

Warum sollte das nicht die 'optimale Lösung' sein? Schau Dir dieses Bild an:

Die Pyramide hat die Höhe $h$ und ihre quadratische Grundfläche die Kantenlänge $a$. Der türkisfarbende Quader mit der Höhe $y=h/3$ und der Grundkante $x=2a/3$ ist von allen Quadern, die so in die Pyramide eingepasst werden können, derjenige mit den größten Volumen.

Bei mir kommt als 2te Ableitung 2h-6xh/a heraus.

das ist korrekt. Und wenn Du nun das $x_{opt}$ dort einsetzt ....$$V''\left(x_{opt}=\frac 23 a\right) = 2h - \frac{6h \cdot \frac 23 a}{a} = -2h \lt 0$$.... dann ist das Ergebnis negativ. Folglich liegt an der Stelle $x_{opt}$ ein Maximum vor.

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Schau Dir bitte folgenden Graphen an:

~plot~ x^2*(1-x/6)*6;[[-1|8|-6|42]];{4|32};32 ~plot~

der blaue Graph beschreibt das Volumen des Quaders, der in der Pyramide steckt, in Abhängigkeit der Kantenlänge $x$ des Quders. Die Pyramide hat hier beispielhaft die Höhe $h=6$ und die Grundfläche $a=6$.

Man sieht, dass das Volumen bei $x=4$ - also $2/3$ der Grundkante der Pyramide - maximal groß wird. An dieser Stelle ist die Steigung (die rote Gerade) =0. Das ist genau das was man mit der Bedingung ...$$V'(x_{opt}) = 0$$... ausdrückt. Dies ist eine notwendige Bedingung für ein lokales Maximum.

Falls was nicht klar ist, so frage bitte einfach nochmal nach.