Konvergenz von einer Reihe angeben

Question

Aufgabe:

Weisen sie nach dass die Reihe: $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{(n+2)*1/5^n}$ konvergiert.

Problem/Ansatz:

Kann mir bitte einer weiterhelfen und ein paar Tipps geben wie ich auf die Zahl 45/16 komme? Ich soll die Konvergenz nachweisen.

Ich hab es mit dem QK versucht aber dass macht irgendwie kein Sinn. Da kommt eins raus.

Comments

Hallo,

das QK funktioniert. Du hast Dich wahrscheinlich verrechnet. Wenn jemand Deinen Fehler suchen soll, solltest Du Deine Rechnung hier posten.

Was die angegebene Zahl angeht, so handelt es sich um den Reihenwert. Nach der Aufgabestellung soll der allerdings nicht bestimmt werden, es ist nur nach dem Konvergenzbeweis gefragt.

Gruß Mathhilf

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Vielen Dank Herr Mathliff. Ich habe meinen Fehler entdeckt.

Der Wert ist 1/5 beim Quotientenkriterium.

Aber in der B ist nach dem Wert gefragt.

Könnten Sie mir da behilflich sein?

Ich komme einfach nicht drauf.

Answer 1

Hallo

du kennst die geometrische Reihe und deren Summe? dann kennst du  2∑(1/5)ⁿ

2. differenziere ∑xⁿ   und die Summenformel dann hast du ∑n*(1/5)^n-1=1/5*∑n*(1/5)ⁿ

nur noch auf den Anfang aufpassen.

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Betrachte folgende Summe:

$$S(x)\coloneqq\sum\limits_{n=1}^\infty nx^n=x\sum\limits_{n=0}^\infty nx^{n-1}=x\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{d}{dx}\left(x^n\right)=x\frac{d}{dx}\sum\limits_{n=0}^\infty x^n\quad;\quad x\ne0\;\land\;|x|<1$$Nach dem ersten Gleichheitszeichen haben wir die untere Grenze der Summe von $n=1$ auf $n=0$ geändert. Um auf Nummer sicher zu gehen, dass der dabei entstehende Faktor $x^{0-1}=\frac{1}{x}$ definiert ist, fordern wir $x\ne0$. Beim letzten Gleichheitszeichen ziehen wir die Ableitung vor die Summe. Das ist erlaubt, weil die geometrische Reihe für $|x|<1$ konvergiert. Mit ihrem Grenzwert $\sum\limits_{n=0}^\infty x^n=\frac{1}{1-x}$ rechnen wir weiter:$$S(x)=x\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{1-x}\right)=x\cdot\frac{1}{(1-x)^2}=\frac{x}{(1-x)^2}$$

Damit ist nun der gesuchte Grenzwert klar:

$$\phantom{=}\sum\limits_{n=0}^\infty(n+2)\cdot\frac{1}{5^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty n\cdot\left(\frac{1}{5}\right)^n+2\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac{1}{5}\right)^n=S\left(\frac{1}{5}\right)+2\cdot\frac{1}{1-\frac{1}{5}}$$$$=\frac{\frac{1}{5}}{(1-\frac{1}{5})^2}+\frac{2}{1-\frac{1}{5}}=\frac{\frac{1}{5}}{\frac{16}{25}}+\frac{2}{\frac{4}{5}}=\frac{1}{5}\cdot\frac{25}{16}+2\cdot\frac{5}{4}=\frac{5}{16}+\frac{40}{16}=\boxed{\frac{45}{16}}$$