Weisen Sie nach, dass dieser STETS lokaler Tiefpunkt ist

Question

Gegeben ist die Funktionenschar f_a (x) = -ax⁴ + x² + a/2

Geben Sie den Schnittpunkt aller Graphen G_a mit der y-Achse an.

Weisen Sie nach, dass dieser stets lokaler Tiefpunkt ist.

[ Quelle: Berlin - Mathematik Leistungskurs 2020 - Aufgabe 2.1 Analysis ]

[ Kontrollergebnis: f´_a (x) = -2(2ax³ - x )

Ansatz: Nun, Schnittpunkt mit der y-Achse bestimmen war noch i.O (S_y ( 0 | a/2 ) (wenn´s falsch ist, ist´s peinlich)

ABER: In der vorherigen Teilaufgabe habe ich bereits lokale Extrema bestimmt; T ( 0 | 0.75 ) war das einzige lokale Minimum. Nur wie weise ich nach, dass das immer der Tiefpunkt ist? Mir hilft das Kontrollergebnis wenig, außer, dass zu erkennen ist, dass man (ofc) die erste Ableitung bilden muss...

Comments

Was sagt die Aufgabe über den Parameter a?

Answer 1

Für positive a besitzt die erste Ableitung von f wegen $$f'_a (x) = -2\cdot\left(2ax^3 - x\right) = -4a\cdot\left(x^2 - \dfrac{1}{2a}\right)\cdot x $$ genau drei einfache Nullstellen, darunter auch \(x=0\). Zusammen mit dem Globalverlauf und der Symmetrie zur y-Achse folgt dann die Behauptung.

Answer 2

Hallo

1. die Funktion ist symmetrisch zur y Achse, also muss sie dort eine waagerechte Tangente haben.

2. y=a/2+x^2*(1-ax^2)  und für kleine |x| ist x^2*(1-ax^2)>0 d,h, es liegt ein lokales Min vor., unabhängig von a

Gruß lul

Comments

unabhängig von a

Falls a positiv ist.

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Hallo

(1-ax^2)>0 für alle endlichen a denn 1>ax^2 trivial für a<0  und richtig für a>0 x^2<1/a

lul

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Stimmt, für negative a ist \(x=0\) die einzige Nullstelle der ersten Ableitung und es folgt auch in diesem Falle aus dem Globalverlauf und der Symmterie die Behauptung.

Answer 3

Nur wie weise ich nach, dass das immer der Tiefpunkt ist?

Zeige dass die Ableitung 0 ist und dass die zweite Ableitung größer als 0 ist.

T ( 0 | 0.75 ) war das einzige lokale Minimum.

Das gilt nur für den Fall a = 3/2, weil ja (0 | 0.75) = (0 | a/2) sein muss.

Answer 4

Hallo,

da du im Leistungskurs zu sein scheinst, zeige ich dir eine allgemeine Lösung.

Der Funktionsgraph ist symmetrisch zur y-Achse.

Eine ganzrationale Funktion 4. Grades, die symmetrisch zur y-Achse ist, hat immer ein lokales Extremum bei x=0.

f(x)=ax^4+bx^2+c

["Mein" a ist nicht das gegebene a!]

f'(x)=4ax^3+2bx=(4ax+2b)*x

 --> Extremum bei x=0

f''(x)=12ax^2+2b

f''(0)=2b

Mit b=1 gilt f"(b)>0. → Lokales Minimum!

Es kommt also nur auf den Koeffizienten von x^2 an.