Aloha :)
Wir betrachten die Differentialgleichung$$y'(x)=-\frac{y}{x}+3x\quad;\quad y(1)=2$$und lösen zunächst die homogene Variante:
$$\left.y'_0(x)=-\frac{y_0(x)}{x}\quad\right|:\,y_0(x)$$$$\left.\frac{y'_0(x)}{y(x)}=-\frac{1}{x}\quad\right|\text{beide Seiten integrieren}$$$$\left.\ln|y_0(x)|+c_1=-\ln|x|+c_2\quad\right|-c_1$$$$\left.\ln|y_0(x)|=-\ln|x|+(c_2-c_1)\quad\right|e^{\cdots}$$$$\left.|y_0(x)|=e^{-\ln|x|}\cdot e^{(c_2-c_1)}\quad\right|e^{-\ln|x|}=\frac{1}{|x|}\;;\;c\coloneqq e^{c_2-c_1}=\text{const}$$$$y_0(x)=\frac{c}{x}$$Da wir die Betragsstriche weggelassen haben, prüfen wir, ob die homogene Diffrentialgleichung auch ohne Betragsstriche erfüllt wird:$$y'_0(x)=\left(\frac{c}{x}\right)'=-\frac{c}{x^2}=-\frac{c/x}{x}=-\frac{y_0(x)}{x}\quad\checkmark$$
Zur Lösung der gegebenen inhomogenen Differentialgleichung, variieren wir die Konstante \(c\) aus der homogenen Lösung. Wir wählen also als Ansatz für die inhomogene Lösung \(y(x)=\frac{c(x)}{x}\). Wir setzen ein:
$$\left.y'(x)=-\frac{y}{x}+3x\quad\right|y(x)=\frac{c(x)}{x}$$$$\left.\left(\frac{c(x)}{x}\right)'=-\frac{\frac{c(x)}{x}}{x}+3x\quad\right|\text{links ableiten, rechts vereinfachen}$$$$\left.\frac{c'(x)\cdot x-c(x)\cdot1}{x^2}=-\frac{c(x)}{x^2}+3x\quad\right|+\frac{c(x)}{c^2}$$$$\left.\frac{c'(x)\cdot x}{x^2}=3x\quad\right|\cdot x$$$$\left.c'(x)=3x^2\quad\right|\text{integrieren}$$$$\left.c(x)=x^3+C\quad\right|C=\text{const}$$
Damit lautet also die inhomogene Lösung:$$y(x)=\frac{c(x)}{x}=\frac{x^3+C}{x}=x^2+\frac{C}{x}$$Die Konstante \(C\) finden wir mit der Anfangsbedingung \(y(1)=2\):$$2=y(1)=1+\frac{C}{1}=1+C\quad\implies\quad C=1$$
Die Lösung der inhomogenen Differentialgleichung under der gegebenen Anfangsbedingung lauet also:$$y(x)=x^2+\frac{1}{x}$$
