Was sind die Cauchy-Riemannschen Differentiagleichungen?

Question

Hallo

Was sind die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen? Warum gelten sie? (Woher genau kommen sie?)

Answer 1

Siehe z.B. hier:

http://vhm.mathematik.uni-stuttgart.de/Vorlesungen/Komplexe_Analysis…

Comments

Vielen Dank!

Answer 2

Die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen sind das System

        $\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x}\left(x,y\right) & =\frac{\partial v}{\partial y}\left(x,y\right)\\ \frac{\partial u}{\partial y}\left(x,y\right) & =-\frac{\partial v}{\partial x}\left(x,y\right) \end{aligned}$

von partiellen Differentialgleichungen.

Sie gelten nicht, sondern sie sind ein notwendiges und hinreichendes Kriterium wann mit

        $\begin{aligned} u:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}, & \left(x,y\right)\mapsto\Re\left(f\left(x+\mathrm{i}y\right)\right)\\ v:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}, & \left(x,y\right)\mapsto\Im\left(f\left(x+\mathrm{i}y\right)\right)\text{.} \end{aligned}$

die Funktion $f:D\to\mathbb{C}$ auf dem Gebiet $D$ holomorph ist.

Einen Beweis findest du auf YouTube in der Vorlesung Funktionentheorie I von Matthias Schulte.