Anwendung von Induktion oder andere Möglichkeit?

Question

Ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Muss ich für diese Aufgabe Induktion anwenden oder kann ich sie auch anders lösen?

$$\sum \limits_{k=1}^{n}k +\sum \limits_{k=1}^{n-1}(n-k) = n^2$$

Comments

Du kannst die zweite Summe auch bis n laufen lassen ohne dass sich etwas ändert, denn du addierst dann nur den Summanden n-n = 0 .

Dann schreibe alles unter eine Summe, k-k = 0  und du erhältst n mal den Summanden n - voilà.

Answer 1

$\sum \limits_{k=1}^{n}k= \frac{n(n+1)}{2}$ sollte bekannt sein.

Die zweite Summe ist ausgeschrieben (n-1)+(n-2)+ ... + 2 + 1 und kann auch in umgekehrter Reihenfolge als

1+2+...+(n-2)+(n-1) und damit als $\sum \limits_{k=1}^{n-1}k=\cdots$ geschrieben werden.

Du kannst natürlich auch

$\sum \limits_{k=1}^{n}k +\sum \limits_{k=1}^{n-1}(n-k)$=$n + \sum \limits_{k=1}^{n-1}k +\sum \limits_{k=1}^{n-1}(n-k)$

= n + $\sum \limits_{k=1}^{n-1}(k+(n-k))$ =n + $\sum \limits_{k=1}^{n-1}n$ verwenden.

Comments

Beachte den einfacheren Vorschlag im Kommentar von hj2166