Grenzwert der Folge sqrt(2^n+4^n)/2^(n-1)

Question

$$ \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt{2^{n}+4^{n}}}{2^{n-1}} $$

Comments

Kannst du noch mehr dazu beitragen als die Aufgabe zu notieren?

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"Bestimmen Sie: " lautet die Aufgabe.

Ich habe versucht die Aufgabe zu lösen, indem ich die Wurzel zu einer 1/2 potenz umforme usw. aber ich kam nicht auf das richtige Ergebnis. Ich hoffe ihr könnt mir helfen.

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Solche Umformungen führen meiner Meinung nach nicht weiter. Vielleicht hilft dies: $$ \lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt{2^{n}+4^{n}}}{2^{n-1}} = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{\dfrac{2^{n}+4^{n}}{4^{n-1}}}$$

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Wenn schon, dann \(\lim\limits_{n\to\infty} \dfrac{\sqrt{2^{n}+4^{n}}}{2^{n-1}} = \lim\limits_{n\to\infty} \sqrt{\dfrac{2^{n}+4^{n}}{4^{n-2}}}\)

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"Wenn schon dann..."

Sehe ich nicht so.

Answer 1

$$\frac{\sqrt{2^n + 4^n }}{2^{n-1}}=\frac{\sqrt{2^n*(1+2^n)}}{2^{n-1}} =2*\frac{\sqrt{2^n*(1+2^n)}}{2^{n}} =2*\sqrt{\frac{2^n*(1+2^n)}{2^{n}*2^{n}}}$$
Kürzen gibt
$$=2*\sqrt{\frac{(1+2^n)}{2^{n}}}$$
Geht also gegen 2.

Answer 2

Schreibe \(\dfrac{\sqrt{2^{n}+4^{n}}}{2^{n-1}} \) als \(\dfrac{\sqrt{4^n}\sqrt{0,5^{n}+1}}{2^{n-1}} \)=\(\dfrac{2^n\sqrt{0,5^{n}+1}}{2^{n-1}} \)

Comments

Vielen Dank. Leider verstehe ich nicht, wie ich mit diesem Resultat weiter arbeiten kann.

ich habe im Zähler 2ⁿ und im Nenner 2^n-1.

Lässt sich das irgendwie kürzen?

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Natürliuch lässt sich das kürzen!

Das sind in Zähler und Nenner jede Menge Faktoren "2". (Im Zähler ist es einer mehr.)