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Man finde alle ganzzahligen Lösungen x ∈ Z der Kongruenz 51x ≡ 34 mod 85:

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Alle ganzzahligen Lösungen x ∈ ℤ sind x=5k+4 für k∈ℤ.

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Es gibt Lösungen, wenn \(\operatorname{ggT}(51,85) \,|\, 34\) ist.

Wegen \(\operatorname{ggT}(51,85) = 17\, |\, 34\)  gibt es also eine Lösung.

Mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus findet man

        \(17 = 2\cdot51-1\cdot85\)

also

        \(34 = 4\cdot 51-2\cdot85\).

Die Kongruenz

        \(51x \equiv 34 \mod 85\)

kann deshalb umgeformt werden zu

        \(51x \equiv 4\cdot 51-2\cdot85 \mod 85\)

also

        \(51x \equiv 4\cdot 51 \mod 85\)

weil der Summand \(-2\cdot 85\) keinen Einfluss auf die Kongruenzklasse hat. Eine Lösung ist somit \(x = 4\).

Lösungsmenge ist somit

        \(\{x\in \mathbb{Z} | \exists r\in \mathbb{Z}: x = 4 + r\cdot \frac{85}{17}\}\).

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