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Hallo!

Ich sitze gerade vor einem Beispiel und irgendwie komm ich da nicht weiter.

Die Angabe lautet: 2014 ≡ 12 mod m

Wieviele Lsg. gibt es ?

Kann mir das bitte jemand erklären ?

Vielen Dank !

Lg
von

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Nun,

$$2014\equiv 12 \mod m $$$$\Leftrightarrow \exists k\in N:2014=m*k+12,m>12$$$$\Leftrightarrow \exists k\in N:2002=m*k,m>12$$

Die Anzahl der Lösungen der gegebenen Gleichung ist gleich der Anzahl der Möglichkeiten, 2002 in ein Produkt aus zwei Zahlen m und k zu zerlegen, wobei m größer als 12 sein muss, da sich andernfalls kein Rest 12 ergeben kann.

Um diese Anzahl zu finden, zerlegt man die Zahl 2002 in ihre Primfaktoren:

2002 = 2 * 7 * 11 * 13

Die Menge der Primfaktoren von 2002 ist also

P2002 = { 2, 7, 11, 13 }

Nun bildet man die Menge aller Teilmengen von P2002 , also deren Potenzmenge \(\wp\) :

$$\wp ({ P }_{ 2002 })=\left\{ \emptyset ,\left\{ 2 \right\} ,\left\{ 7 \right\} ,\left\{ 11 \right\} ,\left\{ 13 \right\} ,\left\{ 2,7 \right\} ,\left\{ 2,11 \right\} ,\left\{ 2,13 \right\} ,\left\{ 7,11 \right\} ,\left\{ 7,13 \right\} ,\left\{ 11,13 \right\} ,\left\{ 2,7,11 \right\} ,\left\{ 2,7,13 \right\} ,\left\{ 2,11,13 \right\} ,\left\{ 7,11,13 \right\} ,\left\{ 2,7,11,13 \right\}  \right\}$$

(

Hinweis: Für die Anzahl der Elemente der Potenzmenge einer Menge A gilt:

$$| |\wp (A)|={ 2 }^{ |A| }$$

Für die Anzahl der Elemente der Potenzmenge von P2002 gilt also dementsprechend:

$$|\wp ({ P }_{ 2002 })|={ 2 }^{ |{ P }_{ 2002 }| }={ 2 }^{ 4 }=16$$

)

Bildet man nun die Menge T der Produkte der Elemente jeder Teilmenge von \(\wp ({ P }_{ 2002 })\), so erhält man die Menge

$${ T }=\left\{ 0,2,7,11,13,14,22,26,77,91,143,154,182,286,1001,2002 \right\}$$

und das ist die Menge aller Teiler m von 2002.
Die Menge aller Teiler, für die gilt m > 12 ist somit:

$$T_{ m>12 }=\left\{ 13,14,22,26,77,91,143,154,182,286,1001,2002 \right\}$$

und das ist die Menge aller Zahlen m, für die die zu betrachtende Gleichung:

$$2014\equiv 12 \mod m$$

gilt.
Die Anzahl der Lösungen dieser Gleichung ist daher gleich der Anzahl der Elemente der Menge Tm>12.
Es ist:

$$|{ T }_{ m>12 }|=12$$

Es gibt also 12 Lösungen.

von 32 k  –  ❤ Bedanken per Paypal

Ich würde sagen deine Lösung stimmt, bis auf den Fakt das m nicht größer als 12 sein muss..

 

Per Definition ist a ≡ b mod m,

wenn m|(b-a) 

2002/2 = 1001 ∈  

2002/5 = 286  

2002/11 = 182 ∈ 

 

bzw. wenn b = a + k*m

2014 = 12 + k*2, k=1001

2014 = 12 + k*5, k=286

2014 = 12 + k*11, k=182

 

Und zur sicherheit nochmal:

2014 mod 2 = 12 mod 2 = 0

2014 mod 7 = 12 mod 7 = 5

2014 mod 11 = 12 mod 11 = 1

Vielen Dank für die tolle Erklärung !!!

Lg

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