Lösungen einer Komplexen Gleichung: (z- 1/z)*i = √5

Question

Ich muss folgende Aufgabe lösen:

Aufgabe 1. Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung:

(z- 1/z)*i = wurzel5

Comments

Du kannst daraus eine quadratische Gleichung QG machen.

1. links und rechts durch i,

2. links und rechts mal z.

3. 0 auf eine Seite, QG auf der andern.

Answer 1

(z- 1/z)*i = √5 ⇔ z²-1=-i√5 z ⇔ z²-1+i√5 z= 0

Mitternachtsformel liefert z=0.5 i (-√5 ±1)

Comments

Die Mitternachtsformel lautet doch:

 

-√5i +/- √(√5i)²-4*1*(-1) / 2*1    ?

 

demnach steht unter der wurzel -1

(√5i)² = -5  -(-4) = -1

 

oder seh ich das falsch

---

Bei der Mitternachtsformel darf man nachlässig sein und √(-1) = ±i schreiben, da (±i)^2 = -1

Answer 2

Du kannst daraus eine quadratische Gleichung QG machen.

(z- 1/z)*i = √5

1. links und rechts durch i, (dasselbe wie mal (-i))        

z - 1/z = -i√5 

2. links und rechts mal z.

z^2- 1 = -√5 i z

3. 0 auf eine Seite, QG auf der andern.

z^2 + √5 i z - 1 = 0                 |quadratische Ergänzung

(z^2 + √5 i z + (√5 i/2)^2 - (√5 i/2)^2 )      -1 = 0

(z + √5 i /2)^2 - (-5/4) -1= 0

(z + √5 i /2)^2  =-1/4        |√
z + √5 i/2 = ±0.5i

z = (±1/2 - √5/2) i = (±1-√5)/2 i

Comments

(z + √5 i /2)2 - (-5/4) -1= 0

da kommt doch aber

(z + √5 i /2)2  +5/4 -1 =0   => (z + √5 i /2)2 +1/4= 0

=> (z + √5 i /2)2 = -1/4

wurzel aus -1/4 geht nicht `?

---

(z + √5 i /2)2  +5/4 -1 =0   => (z + √5 i /2)2 +1/4= 0

=> (z + √5 i /2)2 = -1/4
richtigl Danke.

Ich habe oben die Fortsetzung korrigiert.

(±0.5i)^2 = -1/4

Vergleiche mit dem Resultat hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=%28z-+1%2Fz%29*i+%3D+√5+

und setze als Übung die Resultate noch in die ursprüngliche Gleichung ein.