f injektiv wenn g surjektiv ist mit der komposition g°f =1x

Question

Aufgabe:

Es seien X und Y endliche nichtleere Mengen.

Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Eine Abbildung f : X → Y ist injektiv genau dann wenn es eine surjektive Abbildung g : Y → X gibt mit g◦f = 1X .

(b) Eine Abbildung f : X → Y ist surjektiv genau dann wenn es eine injektive Abbildung g : Y → X gibt mit f ◦g = 1Y .

Problem/Ansatz:

Ich kenne den Beweis, falls die gesamte komposition ja surjektiv oder injektiv ist, aber hier wird behauptet, dass ich zeigen soll, dass g surjektiv ist und dabei gelten soll, dass f injektiv ist.

Answer 1

Eine Abbildung f : X → Y ist injektiv

Sei $x_0\in X$.

Sei $g:Y\to X$ mit

        $y\mapsto\begin{cases}x_0&\text{falls }\forall x\in X: f(x)\neq y\\x&\text{falls }f(x)=y\end{cases}$

Begründe warum $g$ wohldefiniert ist.

Zeige dass $g\circ f = 1_X$ ist und dass $g$ surjektiv ist.

wenn es eine surjektive Abbildung g : Y → X gibt mit g◦f = 1X

Seien $x_1,x_2\in X,y\in Y$ mit $f(x_1) = f(x_2) = y$.

Zeige dass $x_1 = x_2$ ist.

Comments

Ich kann diese Antwort irgendwie nicht wirklich nachvollziehen, da ich ja auch ein Zusammenhang beweisen soll oder bin ich völlig aufm Schlauch?

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Du musst einerseits zeigen,

        Wenn f : X → Y ist injektiv ist, dann existiert g : Y → X surjektiv mit g◦f = 1X

und andererseits

      Wenn g : Y → X surjektiv mit g◦f = 1X existiert, dann ist f : X → Y injektiv.

Die beiden Teile meiner Antowrt gehören zu diesen beiden Aussagen.