Ich glaube, du denkst da zu kompliziert.
Bedenke: Im dreidimensionalen Raum gibt es unendlich viele solcher Geraden h. Sie bilden sozusagen die Hülle eines Rohres, dessen Achse die gegebene Gerade g ist und dessen Radius 3 ist.
Es soll nun genau eine, und zwar irgendeine dieser Geraden bestimmt werden.
Meine Idee:
1) Bestimme irgendeine Ebene E, die die Gerade g enthält.
2) Berechne einen Punkt P, der im Abstand 3 vom Stützpunkt der Geraden g entfernt liegt.
3) Addiere zu diesem Punkt ein Vielfaches des Richtungsvektors der Geraden g
Das Ergebnis ist die Gleichung einer Geraden, die im Abstand 3 parallel zu g verläuft - und genau solch eine Gerade sollte bestimmt werden!
Also:
1) Um eine Ebene E zu bestimmen, die die Gerade g enthält, braucht man nur das Vielfache irgendeines Vektors zur Gleichung von g zu addieren. Dieser Vektor muss allerdings linear unabhängig von dem Richtungsvektor der Geraden sein, darf also kein Vielfaches von diesem sein.
Ich nehme der Einfachheit halber den Vektor ( 1 , 0 , 0 ) , der sicher kein Vielfaches des Richtungsvektors ( 0 , -2 , 5 ) von g ist.
Die Ebene E hat dann die Gleichung
$$E:\vec { x } =\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}+r\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}+s\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$$
2) Der Normalenvektor n von E ist gleich dem Kreuzprodukt der Richtungsvektoren von E, also:
$$\vec { n } =\begin{pmatrix} 4 \\ -4 \\ 2 \end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (-4)*0-2*0 \\ 2*1-4*0 \\ 4*0-(-4)*1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$$
Daraus ergibt sich der Normaleneinheitsvektor n0
$$\vec { { n }_{ 0 } } =\frac { \vec { n } }{ \left| \vec { n } \right| } =\frac { \vec { n } }{ \sqrt { { 0 }^{ 2 }+{ 2 }^{ 2 }+{ 4 }^{ 2 } } } =\frac { \vec { n } }{ \sqrt { 20 } } =\frac { 1 }{ \sqrt { 20 } } \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}$$
Dieser hat die Länge 1. Mit ihm kann man nun den Punkt P bestimmen, der im Abstand 3 vom Stützpunkt der Geraden liegt:
$$P=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}+3*\frac { 1 }{ \sqrt { 20 } } \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac { 6 }{ \sqrt { 20 } } +2 \\ \frac { 12 }{ \sqrt { 20 } } -5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ \frac { 3 }{ \sqrt { 5 } } +2 \\ \frac { 6 }{ \sqrt { 5 } } -5 \end{pmatrix}$$
3) Addiert man nun ein Vielfaches des Richtungsvektors von g zu diesem Punkt, dann erhält man die Gleichung
$$h:\vec { y } =\begin{pmatrix} 0 \\ \frac { 3 }{ \sqrt { 5 } } +2 \\ \frac { 6 }{ \sqrt { 5 } } -5 \end{pmatrix}+t*\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix}$$
Dies ist die die gesuchte Gleichung der Geraden h.
