Gibt es einen einfacheren Weg als per Induktion?

Question

Heyho, ich hätte eine Frage dazu, wie ich folgndes beweisen:

Ich weiß leider nicht wie ich das in schön hier schreibe, aber ich hoffe man verstehets trotzdem:

Summe von k=0 bis n: [(-1)^k /(k+1)] * (n über k) = 1/(n+1).

Ich hab probiert dies per Induktion zu beweisen, kam aber am Ende irgendwie nicht mehr weiter. Gibt es einen einfacheren Weg als per Induktion?

Comments

Benutze zunächst (n über k) = (n-1 über k-1) * n/k in geeigneter Form und dann den binomischen Satz für (1-1)ⁿ⁺¹ = 0.

Answer 1

Aloha :)

Eine merkenswerte Regel beim Binomialkoeffizienten ist \(\binom{n+1}{k+1}=\frac{n+1}{k+1}\binom{n}{k}\):$$\phantom{=}\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{(-1)^k}{k+1}=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n\binom{n}{k}\frac{n+1}{k+1}(-1)^k=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=0}^n\binom{n+1}{k+1}(-1)^k$$$$=\frac{1}{n+1}\sum\limits_{k=1}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^{k-1}=\frac{1}{n+1}\left(\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}(-1)^{k-1}\,\underbrace{-\binom{n+1}{0}(-1)^{0-1}}_{=+1}\right)$$$$=\frac{1}{n+1}\left(-\underbrace{\sum\limits_{k=0}^{n+1}\binom{n+1}{k}\cdot1^{(n+1)-k}\cdot(-1)^k}_{=\text{binomischer Lehrsatz}\implies(1+(-1))^{n+1}}+1\right)=\frac{1}{n+1}\left(-\underbrace{(1+(-1))^{n+1}}_{=0}+1\right)$$$$=\frac{1}{n+1}$$