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IA. n=1 n=1
k=0121k(1k)=31210(10)+211(11)=3121+11=313=3v \begin{aligned} \sum \limits_{k=0}^{1} 2^{1-k}\left(\begin{array}{l} 1 \\ k \end{array}\right) & =3^{1} \\ 2^{1-0} \cdot\left(\begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array}\right)+2^{1-1}\left(\begin{array}{l} 1 \\ 1 \end{array}\right) & =3^{1} \\ 2 \cdot 1+1 \cdot 1 & =3^{1} \\ 3 & =3 v \end{aligned}
 Iv. nN : u=0n2nu(nu)=3n \text { Iv. } \exists n \in \mathbb{N}: \sum \limits_{u=0}^{n} 2^{n-u}\left(\begin{array}{l} n \\ u \end{array}\right)=3^{n}
18. n0n+1 n-0 n+1
k=0n+12(n+1)k(n+1k)=3n+1k=0nm2(n+1)k(n+1k)=k0n2n+1k(nmn)+1 \begin{aligned} \sum \limits_{k=0}^{n+1} 2^{(n+1)-k}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\right) & =3^{n+1} \\ \sum \limits_{k=0}^{n m} 2^{(n+1)-k}\left(\begin{array}{c} n+1 \\ k \end{array}\right) & =\sum \limits_{k-0}^{n} 2^{n+1-k}\left(\begin{array}{c} n m \\ n \end{array}\right)+1 \end{aligned}

Aufgabe: Ziegen sie das für jede natürliche Zahl n> gleich 1 gilt:

n

∑2^(n-k) (n über K)= 3n

k=0


Problem/Ansatz:

Induktionsanfang habe ich hinbekommen.Beim induktionsschritt weiß ich nicht weiter. Wenn ich n+1 einsetze, weiß ich nicht wie ich die +1 bei 2^(n+1)-k wieder los werde.

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Im Pascalschen Dreieck gilt (nk1) \begin{pmatrix} n\\k-1\end{pmatrix} +(nk) \begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} =(n+1k) \begin{pmatrix} n+1\\k\end{pmatrix} .

Das kannst du nutzen, um (n+1k) \begin{pmatrix} n+1\\k\end{pmatrix} durch das in der Induktionsvoraussetzung vorhandene (nk) \begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} auszudrücken.

Avatar von 56 k 🚀

Um die IV einsetzen zu können, bräuchte ich ja die Form 2n-k vor dem Binomialkoeffizienten.

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