Integralrechnung von -pi bis pi

Question

Aufgabe

Berechnen Sie das Integral von -pi zu pi (sin(2x)+1)dx wie berechne ich das ?

Answer 1

Hallo,

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Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$I=\int\limits_{-\pi}^\pi\left(\sin(2x)+1\right)\,dx=\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(2x)\,dx+\int\limits_{-\pi}^\pi1\,dx$$

1) Integrieren mittels Symmetrie:

Ich weiß nicht, wie geübt du bist. Das erste Integral über $\sin(2x)$ ergibt $0$, weil die Sinus-Funktion punktsymmetrisch zum Urpsrung ist. Das heißt im Intervall $[-\pi;0]$ ist das Integral vom Betrag genauso groß wie im Intervall $[0;\pi]$, aber das Vorzeichen ist entgegengesetzt.

Beim zweiten Integral wird über $1$ integriert. Da $1$ achsensymmetrisch zur $y$-Achse ist, ist das Integral über $[-\pi;0]$ vom Betrag und vom Vorzeichen her gleich dem Integral über $[0;\pi]$.

Mit Hilfe dieser Symmetrie-Überlegung kannst du das Integral also sofort hinschreiben:$$I=2\cdot\int\limits_0^\pi1\,dx=2\cdot\left[x\right]_0^\pi=2\pi$$

2) Integration mit Substitution:

Wenn du die Symmetrie nicht nutzen möchtest, kannst du natürlich auch die Bauern-Methode verwenden:$$I=\int\limits_{-\pi}^\pi\frac{1}{2}\sin(2x)\,d(2x)+\int\limits_{-\pi}^\pi1\,dx=\frac{1}{2}\left[-\cos(2x)\right]_{-\pi}^\pi+\left[x\right]_{-\pi}^\pi$$$$\phantom{I}=\frac{1}{2}\left[-\cos(2\pi)+\cos(-2\pi)\right]+\left[\pi-(-\pi)\right]=2\pi$$