Reihen, Konvergenz, Analysis

Question

Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren. Bestimmen Sie im Falle der Konvergenz den Grenzwert der Reihe nummerisch mit einer Genauigkeit von 10^-5.

1. $$ \sum _{ k=1 }^{ \infty  }{ \sqrt [ k ]{ k } \quad { q }^{ k } } $$ für IqI < 1

2. $$ \sum _{ n=k }^{ \infty  }{ (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) } { q }^{ n } $$  für IqI < 1, k ∈ ℕ₀

Comments

Habt ihr zu diesen Aufgaben keine Tipps oder Lösungsvorschläge?

Answer 1

Zu 1).  Zeige per Induktion, dass \(n<2^n\) für alle \(n\in\mathbb N\) gilt. Schätze damit \(\sqrt[k]{k}\) nach oben durch 2 ab. Die Konvergenz der Reihe folgt somit nach dem Majorantenkriterium aus der Konvergenz der geometrischen Reihe.

Comments

Und wie soll ich das alles machen?

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$$\sum_{k=1}^\infty|\sqrt[k]{k}\cdot q^k|<\sum_{k=1}^\infty|2\cdot q^k|=2\cdot\sum_{k=1}^\infty |q^k|.$$

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Und jetzt? Was hat das denn mit einer Induktion zu tun? Könntest du vielleicht explizit die einzelnen Schritte erklären?
Danke.

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Behauptung: Für alle \(n\in\mathbb N\) gilt \(n<2^n\).
Beweis per Induktion über \(n\).
Induktionsanfang: Für \(n=1\) ist \(1<2=2^1\).
Induktionsvoraussetzung: Es gebe ein \(n\) für das die Behauptung gilt.
Induktionsschritt: Zu zeigen ist, dass die Behauptung für \(n+1\) gilt.
Nach Induktionsvoraussetzung gilt
\(n+1<2^n+1=2^n+1^n<2^n+2^n=2\cdot2^n=2^{n+1}\).
Daraus folgt die Behauptung.

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Wie bestimme ich den Grenzwert? Und wie kann ich die zweite Aufgabe lösen?

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Bisher ist lediglich die Konvergenz gezeigt.. Laut Aufgabenstellung soll der Grenzwert numerisch mit einer Genauigkeit von 10^-5 angegeben werden. Der Grenzwert ist von der Wahl von  q  abhängig. Es ist aber kein konkretes  q  angegeben.