Stammfunktion von (x^2)*e^{2x^3}?

Question

Wie kann ich die Stammfunktion von folgender Funktion bilden? f(x) = (x^2)*e^{2x^3} Mit Produkt- und Substitutionsregel komme ich hier leider nicht weit...

Answer 1

Substitution ist aber genau das Mittel der Wahl ;).

Substituiere: \(u = 2x^3\) und somit \(du = 6x^2 dx\)


$$\int x^2\cdot e^{2x^3} \; dx = \frac16\int e^u du = \frac16\cdot e^u + c = \frac16\cdot e^{2x^3} + c$$


Grüße

Comments

Vielen Dank für die schnelle Hilfe!


Wie müsste ich vorgehen, wenn im Exponenten von e anstatt 2x^3 nur 2x^2 stehen würde? Weil somit würde sich das x^2 vor der e-Funktion nicht wegkürzen lassen und ich käme wieder nicht weiter.

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Das ist richtig. Da sich das nicht passend wegkürzt, kann man das Integral nicht lösen ;).

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Das ist schön zu hören :D. Vielen Dank nochmals!

Answer 2

Forme um:

$$\int { { x }^{ 2 }{ e }^{ 2{ x }^{ 3 } } } dx$$$$=\int { 6*\frac { 1 }{ 6 } { x }^{ 2 }{ e }^{ 2{ x }^{ 3 } } } dx$$$$=\frac { 1 }{ 6 } \int { 6{ x }^{ 2 }{ e }^{ 2{ x }^{ 3 } } } dx$$Nun hat der Integrand die Form$$u'{ e }^{ u }$$und kann leicht integriert werden zu:$${ e }^{ u }$$also:$$\int { { x }^{ 2 }{ e }^{ 2{ x }^{ 3 } } } dx=\frac { 1 }{ 6 } { e }^{ 2{ x }^{ 3 } }+C$$