Zeige: (U_1 + U_2)^{\perp} = U_1^{\perp} \cap U_2^{\perp}

Question 1

Aufgabe:

Zeige: \( (U_1 + U_2)^{\perp} = U_1^{\perp} \cap U_2^{\perp} \)

Problem/Ansatz:

Funktioniert folgender Beweis?

\(v \in (U_1 + U_2)^{\perp}\)

\(\Leftrightarrow <v, u_1+u_2> = 0 \: \forall u_1 \in U_1, u_2 \in U_2 \)

\(\Leftrightarrow <v, u_1>+<v, u_2> = 0\)

\(\Leftrightarrow <v, u_1> = 0 \land <v, u_2> = 0\)

\(\Leftrightarrow v \in U_1^{\perp} \cap U_2^{\perp}\)

Wobei ich genutzt habe, das das Skalarprodukt positiv definit und linear in beiden Komponenten ist.
^^

Question 2

Beim vorletzten Schritt hast du ja die positive Definitheit ausgenutzt.

Auf den ersten Blick sieht es allerdings so aus, als wenn du angenommen hättest,

dass <v,u1> und <v,u2> beide nie negativ werden. Das ist aber ja falsch.

Der Schluss baut ja wesentlich darauf, dass das eben für alle u1∈U1 und u2∈U2

gilt. Das würde ich an der Stelle noch deutlicher machen.

Question 3

ahh stimmt, vielen dank für den hinweis. da hatte ich die definition wohl nicht mehr ganz im kopf

mathef · Answer 1 · 2021-04-19T06:11:34+0000

Beim vorletzten Schritt hast du ja die positive Definitheit ausgenutzt.

Auf den ersten Blick sieht es allerdings so aus, als wenn du angenommen hättest,

dass <v,u1> und <v,u2> beide nie negativ werden. Das ist aber ja falsch.

Der Schluss baut ja wesentlich darauf, dass das eben für alle u1∈U1 und u2∈U2

gilt. Das würde ich an der Stelle noch deutlicher machen.

ahh stimmt, vielen dank für den hinweis. da hatte ich die definition wohl nicht mehr ganz im kopf — MrXeth, 19 Apr 2021

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