Berechnen Sie eine Basis B_0 von U_1 ∩ U_2 und ergänzen Sie diese zu Basen B_1 und B_2 von U_1 bzw. U_2.

Question

versteht diese Aufgabe jemand? Wäre echt lieb, wenn mir einer antworten könnte:)

Es sei V={ f∈K[X]|deg(f)≤3} der Vektorraum der Polynome über einem Körper K von Grad höchstens drei. Weiter seien

U₁=⟨ 2X²−2, 2X−2X², −2X²+ 4X−2⟩ und

U₂=⟨−X³+X²+ 3X−1, −X³+X²+X+ 1⟩

Berechnen Sie eine Basis B₀ von U₁∩U₂ und ergänzen Sie diese zu Basen B₁ und B₂ von U₁ bzw. U₂  

Danke !!
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Answer 1

Erst mal Basen von U1 und U2:

Bei U1 ist 

der erste plus 2mal der zweite gleich dem dritten,

also besteht eine Basis nur aus den ersten beiden;

die sind nämlich lin. unabh.

Bei U2 sind die beiden schon eine Basis.

Also brauchst du bei U1∩U2 diejenigen, die sich sowohl durch 

2X^2−2,     2X−2X^2 

als auch durch 

−X^3+X^,2+ 3X−1, −X^3+X^2+X+ 1  

darstellen lassen, also Hast du den Ansatz:

Es gibt a,b,c,d mit 

a*(2X^2−2)  +  b*(2X−2X^2 ) = c(−X^3+X^2+ 3X−1) +d*(−X^3+X^2+X+ 1)  #

Das führt auf 

(c+d)*x^3 +(2a-2b-c-d)*x^2 +(2b-3c-d)*x +(-2a+c-d)=0      

Da die Klammern alle 0 sein müssen (x^3 ,x^2, x, 1 sind lin. unabh.)

bekommst du (z.B. mit Gauss-Alg.) für jede Lösung dieses GL-sytems

gilt a=-d  b=-d  c=-d , also wird # zu 

-d*(2X^2−2)  -d *(2X−2X^2 ) = -d (−X^3+X^2+ 3X−1) +d*(−X^3+X^2+X+ 1)

<=> 

         2d - 2dx      =  d + -3dx   + dx  +d

            2d( 1-x)   =  2d( 1-x) 

also sind alle Polynome, die in beiden Räumen sind Vielfache von (1-x)

und damit ist 1-x eine Basis von U1∩U2.

Und dann brauchst du nur von den alten Basen von U1 und U2 je einen

dazu zu tun ( die sind ja offenbar jeweils mit 1-x lin. unabh.

und hast Basen von 

U1 :             1-x ; 2X^2−2

U1:              1-x ; −X^3+X^2+X+ 1.