Berechnen Sie das bestimmte Integral der Funktion y = x im Intervall [1,3] als Grenzwert der

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie das bestimmte Integral der Funktion y = x im Intervall [1,3] als Grenzwert der
Folgen von Unter- und Obersumme.

Könntet Ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?

Problem/Ansatz:

$$lim σ = \int \limits_{3}^{1}x dx$$

Answer 1

Hallo,

Zerlege das Intervall in $n$ Segmente. Das Intervall hat die Breite $b=3-1=2$. Somit ist jedes Segment $2/n$ breit. Für die Untersumme gilt$$U_n = \sum_{k=0}^{n-1} y_k \cdot \frac 2n$$und für die Obersumme gilt$$O_n = \sum_{k=1}^n y_k \cdot \frac 2n$$und hier ist $$y_k = y\left(x=1 + \frac 2n \cdot k \right)= 1 + \frac{2k}n$$Einsetzen in die Unter- und Obersumme$$U_n = \sum_{k=0}^{n-1} \left( 1 + \frac{2k}{n}\right) \cdot \frac 2n = 2 + \frac 4{n^2}\sum_{k=0}^{n-1} k \\ \phantom{U_n} = 2 + \frac 4{n^2} \left( \frac n2 (n-1)\right) = 2 + \frac 2n(n-1) = 4 - \frac 2n\\ O_n = \sum_{k=1}^n \left( 1 + \frac{2k}n\right) \frac 2n = 2 +\frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^n k \\ \phantom{O_n} = 2 + \frac 4{n^2} \left( \frac n2 (n+1)\right) = 2 + \frac 2n(n+1) = 4 + \frac 2n$$Beide Summen gehen mit $n$ gegen unendlich gegen 4.$$\lim_{n \to \infty} U_n = \lim_{n \to \infty} O_n = 4$$

Comments

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort.

Ich wollte wissen, wie du bei $y_k = y\left(x=1 + \frac 2n \cdot k \right)= 1 + \frac{2k}n$ auf die 1 kommst.

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Die 1 ist die untere Grenze des Integrals. Das Integral geht von $x_a=1$ bis $x_e=3$ (Intervallgrenzen). Die Breite $b$ ist $$b = x_a-x_e = 3-1=2$$Und in Abhängigkeit von $k$ läuft der $x$-Wert von$$x_{k=0} = 1 + \frac {2(k=0)}n = 1$$bis$$x_{k=n} = 1 + \frac{2(k=n)}{n} = 3$$

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Sry, dass ich erst jetzt eine Nachfrage stelle, aber wie kommt man von 2/n auf 2

$U_n = \sum_{k=0}^{n-1} \left( 1 + \frac{2k}{n}\right) \cdot \frac 2n = 2 + \frac 4{n^2}\sum_{k=0}^{n-1} k \\ \phantom{U_n} = 2 + \frac 4{n^2} \left( \frac n2 (n-1)\right) = 2 + \frac 2n(n-1) = 4 - \frac 2n\\ O_n = \sum_{k=1}^n \left( 1 + \frac{2k}n\right) \frac 2n = 2 +\frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^n k \\ \phantom{O_n} = 2 + \frac 4{n^2} \left( \frac n2 (n+1)\right) = 2 + \frac 2n(n+1) = 4 + \frac 2n$´

Danke

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... aber wie kommt man von 2/n auf 2

Der Term $2/n$ kommt da öfter vor, und ich weiß nicht, welche Stelle Du genau meinst. Anbei nochmal das $O_n$ ganz ausführlich: $$\begin{aligned} O_n &= \sum_{k=1}^n \left( 1 + \frac{2k}n\right) \frac 2n \\&= \sum_{k=1}^n \frac2n \space + \sum_{k=1}^n \frac{4k}{n^2}&&|\, 1)\\&= \frac2n \sum_{k=1}^n 1\space + \frac{4}{n^2} \sum_{k=1}^n k&&|\,2) \\&= \frac2n \cdot n + \frac4{n^2} \cdot \frac n2(n+1)&&|\, 3)\\ &= 2 + \frac 2{n} (n+1)&&|\,4)\\&= 2 + \frac 2n \cdot n + \frac 2n \cdot 1\\&= 2 + 2 +\frac 2n \\&= 4 +\frac2n\end{aligned}$$1) die Summe wird in zwei Teilsummen zerlegt

2) jeder konstante Faktor kann aus der Summe heraus gezogen werden.

3) die Summe von $n$ $1$'en ist $n$ und für das $\sum_{k=1}^n k$ gibt's die Gauß'sche Summenformel.

4) Brüche kürzen

Answer 2

Hallo

du teilst die Strecke von x=1 bis 3 in n Teile, dann ist ein Stück 2/n lang.

dann bildest du die Untersumme, indem du mir x0=1 anfängst dann x1=1+2/n, xk=1+k*2/n bis xn=1+(n-1)*2;n

bei der Obersumme fängst du bei x=x1 an,  und hört bei xn=1+n*2/n auf.

Wo liegen dabei deine Schwierigkeiten?

Gruß lul

Answer 3

Text erkannt:

$\lim \sigma=\int \limits_{1}^{3} x \cdot d x=\left[\frac{1}{2} x^{2}\right]_{1}^{3}=\left[\frac{1}{2} \cdot 3^{2}\right]-\left[\frac{1}{2} \cdot 1^{2}\right]=4$