Aloha :)
Analyse:
Die 3 Teile des Drahtes bezeichnen wir mit \(x\), \(y\) und \(z\). Für sie gilt: \(x+y+z=L\).
Aus \(x\) wird der Umfang eines Quadrates geformt. Eine Seite des Quadrates hat daher die Länge \(\frac{x}{4}\). Die Fläche des Quadrates ist also \(\left(\frac{x}{4}\right)^2=\frac{x^2}{16}\).
Aus \(y\) wird der Umfang eines Kreises geformt. Der Radius des Kreises ist dann \(\frac{y}{2\pi}\). Damit ist die Fläche des Kreises \(\pi\cdot\left(\frac{y}{2\pi}\right)^2=\frac{y^2}{4\pi}\).
Aus \(z\) wird ein gleichseitiges Dreieck geformt. Seine Kantenlänge ist \(\frac{z}{3}\). Nach Pythagoras gilt für seine Höhe: \(h^2+\left(\frac{z}{6}\right)^2=\left(\frac{z}{3}\right)^2\implies h^2=\frac{z^2}{9}-\frac{z^2}{36}=\frac{3z^2}{36}\implies h=\sqrt3\cdot\frac{z}{6}\). Seine Fläche ist Grundseite mal halbe Höhe, also \(\frac{z}{3}\cdot\frac{1}{2}\cdot\sqrt3\cdot\frac{z}{6}=\frac{z^2}{12\sqrt3}\).
Zusammenfassung:
Wir sollen die Flächenfunktion \(f(x;y;z)\) unter der Nebenbedingung \(g(x;y;z)=\text{const}\) optimieren:$$f(x;y;z)=\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4\pi}+\frac{z^2}{12\sqrt3}\quad;\quad g(x;y;z)=x+y+z=L$$
1-te Rechnung (minimale Fläche):
Nach Lagrange muss der Gradient der zu optimierenden Funktion bis auf eine Konstante \(\lambda\) gleich dem Gradienten der Nebenbedingung sein:$$\operatorname{grad}f=\lambda\operatorname{grad}g\quad\implies\quad\left(\begin{array}{c}\frac{x}{8}\\[1ex]\frac{y}{2\pi}\\[1ex]\frac{z}{6\sqrt3}\end{array}\right)=\lambda\left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right)$$
Offensichtlich müssen alle Komponenten des linken Gradienten gleich groß sein:$$\frac{y}{2\pi}=\frac{x}{8}\implies y=\frac{\pi}{4}x\quad;\quad\frac{z}{6\sqrt3}=\frac{x}{8}\implies z=\frac{3\sqrt3}{4}x$$
Das setzen wir in die Nebenbedingung ein:$$L=x+y+z=x+\frac{\pi}{4}x+\frac{3\sqrt3}{4}x=x\cdot\frac{4+\pi+3\sqrt3}{4}$$$$x=\frac{4L}{4+\pi+3\sqrt3}\quad;\quad y=\frac{\pi L}{4+\pi+3\sqrt3}\quad;\quad z=\frac{3\sqrt3L}{4+\pi+3\sqrt3}$$
2-te Rechnung (maximale Fläche):
Diese können wir mit den Mitteln der Differentialrechnung nicht bestimmen, weil wir die Variablen \(x,y,z\) nicht an den Rändern ihres Definitionsbreiches ableiten können. Wie ein Vergleich der Nenner von den oben bestimmten Flächen zeigt, ist \(4\pi<16<12\sqrt3\). Der Kreis hat daher das "beste" Verhältnis von Fläche zu Umfang. Das heißt, wir bekommen die maximale Fläche, wenn wir kein Quadrat (\(x=0\)), kein gleichseitiges Dreieck (\(z=0\)) legen, sondern aus dem gesamten Draht einen Kreis biegen (\(y=L\)).
