mittelwertsätze der Differentialgleichung

Question

eine kleine frage hätte ich bezüglich einer Aufgabe die da heißt;

Nutze die Mittelwertsätze der Differentialrechnung, um folgende Aussage nachzuweisen:

Für alle xeR , x > 0, gilt

x/1+x^2 < arctan x < x

meine Frage lautet auch noch;

könnte ich hier ihn diesem Fall eventuell die Formel f(x)-f(y)/x-y anwenden und die Stammfunktion anwenden.

Answer 1

Betrachte die Funktion \(f\colon[0,x]\to\mathbb R\) mit \(t\mapsto\arctan t\). Bekanntlich ist \(f\) stetig auf dem gesamten Definitionsbereich und differenzierbar auf dem offenen Intervall \((0,x)\). Nach besagtem Satz existiert ein \(c\in\mathbb R\) mit \(0<c<x\) und$$\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\frac{\arctan x-\arctan 0}{x-0}=\frac1{1+c^2}=f^\prime(c).$$Nun gilt einerseits$$\frac{\arctan x}x=\frac1{1+c^2}<1\iff\arctan x<x$$und andererseits$$\frac{\arctan x}x=\frac1{1+c^2}>\frac1{1+x^2}\iff\arctan x>\frac x{1+x^2}.$$

Comments

vielen dank erstmal.

könntest du mir eventuell den zweiten teil genauer erklären, wie ich nun umforme also dass ich dann den arctan wert bekomme

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Für alle \(c>0\) gilt \(\dfrac1{1+c^2}<1\), d.h. \(\dfrac{\arctan x}x<1\). Multipliziere die Ungleichung mit \(x\). Da \(x\) positiv ist, bleibt das Vergleichszeichen erhalten.

Andererseits gilt \(\dfrac1{1+c^2}>\dfrac1{1+x^2}\) für alle \(c\) mit \(0<c<x\).

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Achso super vielen Dank nochmal für die detaillierte Erklärung.

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Hallo nochmal, könnte ich kurz nochmal eine weitere Frage stellen;

ich habe versucht, so eine ähnlich Aufgabe zu bearbeiten und habe das mit der Aufagebstellung;

Für alle x,y e (0,pi/2), x<y, gilt

cot y < sin y- sin x / cos x - cos y < cot y

Ich habe genau wie bei der ersten Aufgabe versucht, für x und y einzusetzen, in dem Falle wäre es ja cot y und cot x, oder?

Also ich würde ungefähr die selben Schritte hier wie vorher einleiten.

Mit freundlichen Grüßen