Konvergenzradius einer Reihe mit e Funktion bestimmen

Question

Hallo,

ich soll den Konvergenzradius folgender Reihe bestimmen

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$ ($\sqrt{e^{2n}+1}$ - $e^{n}$) * $x^{n}$ 

Ich weiß dass ich grundlegend das ganze in die Form

$\sum\limits_{n=0}^{\infty}$ a_n(x-x₀)ⁿ

bringen soll, bin hier allerdings verloren wie genau ich das machen soll.  

Würde mich über jede Hilfe freuen :)

Answer 1

Hallo

das ist doch schon in der gewünschten Form, x₀=0 und a_n=√(e²ⁿ+1)*eⁿ benutze das Wurzelkriterium

und √(e²ⁿ+1)-> eⁿ

Gruß lul

Comments

Hallo,

und √(e^{2n}+1)-> e^{n}

ich verstehe leider nicht wieso hier die eins verschwindet.

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Frag doch bei der Gelegenheit gleich auch noch, was das denn bei der Bestimmung des Konvergenzradius helfen soll.

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Hallo

ziehe e²ⁿ aus der Wurzel.

Gruß lul

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Also ist dann

$\sqrt[n]{\sqrt{e^{2n}+1}-e^{n}}$ =  $\sqrt[n]{e^{n}+1-e^{n}}$ und damit nurnoch n-te wurzel von 1 ?

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Hallo

meine Idee war, : eⁿ*(√(1+1/e²ⁿ)-1)  aber besser erweitere mit √(e²ⁿ+1)+eⁿ

dann hast du die dDifferenz los und nur noch den positiven Nenner,

Gruß lul

Answer 2

Aloha :)

Erstmal schreiben wir die Koeffizienten mittels der dritten binomischen Formel etwas um:$$a_n\coloneqq\sqrt{e^{2n}+1}-e^n=\frac{(\sqrt{e^{2n}+1}-e^n)(\sqrt{e^{2n}+1}+e^n)}{\sqrt{e^{2n}+1}+e^n}=\frac{e^{2n}+1-e^{2n}}{\sqrt{e^{2n}+1}+e^n}$$$$\phantom{a_n}\;=\frac{1}{\sqrt{e^{2n}+1}+e^n}=\frac{1}{e^n\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2n}}}+1\right)}$$

und bestimmen dann den Konvergenzradius als Grenzwert von$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{e^{n+1}\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2(n+1)}}}+1\right)}{e^n\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2n}}}+1\right)}=e\cdot\frac{\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2(n+1)}}}+1\right)}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2n}}}+1\right)}\to e\cdot\frac{2}{2}=e$$

Der Konvergenzradius ist daher $r=e$.

Comments

Vielen Dank schonmal!

Ich hab das jetzt mit dem Wurzelkriterium versucht, könntest du mir vielleicht sagen wieso das hier dann falsch ist:

$\sqrt[n]{\sqrt{e^{2n}+1}-e^{n}}$ = $\sqrt[n]{e^{n}+1-e^{n}}$ = $\sqrt[n]{1}$ und damit r=1

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Hallo,

$$\sqrt{x+y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$$

ist absolut falsch. Setz mal irgendwelche Zahlen für x und y ein.

Ich würde Dir raten, Dich damit intensiv auseinander zu setzen, damit Dir so etwas nicht noch einmal passiert.

Gruß Mathhil

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Mit dem Wurzelkriterium wirst du hier nicht wirklich gut weiterkommen. Ich habe es dir doch mit dem Quotientenkriterium ausführlich vorgeführt.

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Ok, war nur interessenhalber, vielen Dank nochmal.

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Mit dem Wurzelkriterium wirst du hier nicht wirklich gut weiterkommen.

Warum nicht ?

(a_n)^1/n =  ((e²ⁿ+1)^1/2 - eⁿ)^1/n =  ((e²ⁿ+1)^1/2 + eⁿ)^-1/n
=  (eⁿ·((1+e^-2n)^1/2 + 1))^-1/n =  1/e · ((1+e^-2n)^1/2 + 1)^-1/n -->  1/e