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Hallo,

ich soll den Konvergenzradius folgender Reihe bestimmen

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \) (\( \sqrt{e^{2n}+1} \) - \( e^{n} \)) * \( x^{n} \) 


Ich weiß dass ich grundlegend das ganze in die Form

\( \sum\limits_{n=0}^{\infty} \) an(x-x0)n

bringen soll, bin hier allerdings verloren wie genau ich das machen soll.  


Würde mich über jede Hilfe freuen :)

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2 Antworten

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Hallo

das ist doch schon in der gewünschten Form, x0=0 und an=√(e^2n+1)*e^n benutze das Wurzelkriterium

und √(e^2n+1)-> e^n

Gruß lul

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Hallo,

und √(e^{2n}+1)-> e^{n}

ich verstehe leider nicht wieso hier die eins verschwindet.

Frag doch bei der Gelegenheit gleich auch noch, was das denn bei der Bestimmung des Konvergenzradius helfen soll.

Hallo

ziehe e^2n aus der Wurzel.

Gruß lul

Also ist dann

\( \sqrt[n]{\sqrt{e^{2n}+1}-e^{n}} \) =  \( \sqrt[n]{e^{n}+1-e^{n}} \) und damit nurnoch n-te wurzel von 1 ?

Hallo

meine Idee war, : e^n*(√(1+1/e^2n)-1)  aber besser erweitere mit √(e^2n+1)+e^n

dann hast du die dDifferenz los und nur noch den positiven Nenner,

Gruß lul

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Aloha :)

Erstmal schreiben wir die Koeffizienten mittels der dritten binomischen Formel etwas um:$$a_n\coloneqq\sqrt{e^{2n}+1}-e^n=\frac{(\sqrt{e^{2n}+1}-e^n)(\sqrt{e^{2n}+1}+e^n)}{\sqrt{e^{2n}+1}+e^n}=\frac{e^{2n}+1-e^{2n}}{\sqrt{e^{2n}+1}+e^n}$$$$\phantom{a_n}\;=\frac{1}{\sqrt{e^{2n}+1}+e^n}=\frac{1}{e^n\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2n}}}+1\right)}$$

und bestimmen dann den Konvergenzradius als Grenzwert von$$\frac{a_n}{a_{n+1}}=\frac{e^{n+1}\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2(n+1)}}}+1\right)}{e^n\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2n}}}+1\right)}=e\cdot\frac{\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2(n+1)}}}+1\right)}{\left(\sqrt{1+\frac{1}{e^{2n}}}+1\right)}\to e\cdot\frac{2}{2}=e$$

Der Konvergenzradius ist daher \(r=e\).

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Vielen Dank schonmal!

Ich hab das jetzt mit dem Wurzelkriterium versucht, könntest du mir vielleicht sagen wieso das hier dann falsch ist:

\( \sqrt[n]{\sqrt{e^{2n}+1}-e^{n}} \) = \( \sqrt[n]{e^{n}+1-e^{n}} \) = \( \sqrt[n]{1} \) und damit r=1

Hallo,

$$\sqrt{x+y}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$$

ist absolut falsch. Setz mal irgendwelche Zahlen für x und y ein.

Ich würde Dir raten, Dich damit intensiv auseinander zu setzen, damit Dir so etwas nicht noch einmal passiert.

Gruß Mathhil

Mit dem Wurzelkriterium wirst du hier nicht wirklich gut weiterkommen. Ich habe es dir doch mit dem Quotientenkriterium ausführlich vorgeführt.

Ok, war nur interessenhalber, vielen Dank nochmal.

Mit dem Wurzelkriterium wirst du hier nicht wirklich gut weiterkommen.

Warum nicht ?

(an)1/n =  ((e2n+1)1/2 - e^n)1/n =  ((e2n+1)1/2 + e^n)-1/n
=  (e^n·((1+e-2n)1/2 + 1))-1/n =  1/e · ((1+e-2n)1/2 + 1)-1/n -->  1/e

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