Matrixdarstellung der Linearenabbildung bestimmen

Question

Muss direkt noch eine Frage hinterher werfen...

$\mathbb{R}^{3}->\mathbb{R}^{3}, \vec{a}->\vec{n} \times \vec{a}$

Ist gegeben. n ist dabei ein normiertervektor... Ich soll die Matrixdarstellung von dieser Linearenabbildung bestimmen.

Ich dachte, dass es Sinnvoll wäre die Bilder der Basen von R³ zu bestimmen. Da die Koordinatenvektoren der Bilder doch immer die spalten der Matrix A wären, oder nicht? Möglich, dass ich gerade auch wieder im völlig falschen Film bin. Wie müsste ich da denn vorgehen?

Answer 1

Aloha :)

$$\vec n\times\vec a=\begin{pmatrix}n_1\\n_2\\n_3\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n_2a_3-n_3a_2\\n_3a_1-n_1a_3\\n_1a_2-n_2a_1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\n_3\\-n_2\end{pmatrix}a_1+\begin{pmatrix}-n_3\\0\\n_1\end{pmatrix}a_2+\begin{pmatrix}n_2\\-n_1\\0\end{pmatrix}a_3$$$$\phantom{\vec n\times\vec a}=\begin{pmatrix}0 & -n_3 & n_2\\n_3 & 0 & -n_1\\-n_2 & n_1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}a_1\\a_2\\a_3\end{pmatrix}$$