Berechnen Sie das Integral mEHRDIEMENASIONAL

Question

Berechnen Sie das Integral
∫(2−x−y)d A
A

Answer 1

Aloha :)

Die Fläche $A$ wird beschrieben durch alle Punkte $(x|y)$ mit $x\in[-1|1]$ und $y\in[x^2|1]$. Bei der Integration über $dA$ bzw. $dx\,dy$ müssen wir darauf achten, zuerst über $dy$ zu integrieren, weil die untere Grenze des $y$-Intervalls von der anderen Integrationsvariablen $x$ abhängt.

$$I=\iint\limits_A(2-x-y)dA=\int\limits_{-1}^1dx\int\limits_{x^2}^1dy\,(2-x-y)=\int\limits_{-1}^1dx\left[2y-xy-\frac{y^2}{2}\right]_{y=x^2}^1$$$$\phantom{I}=\int\limits_{-1}^1\left[\left(2-x-\frac{1}{2}\right)-\left(2x^2-x^3-\frac{x^4}{2}\right)\right]dx=\int\limits_{-1}^1\left(\frac{x^4}{2}+x^3-2x^2-x+\frac{3}{2}\right)dx$$Da das Integrationsintervall $[-1|1]$ symmetrisch zur $y$-Achse ist, liefern alle ungeraden Exponenten keinen Beitrag. Daher geht es einfach weiter mit

$$\phantom{I}=2\int\limits_{0}^1\left(\frac{x^4}{2}-2x^2+\frac{3}{2}\right)dx=2\left[\frac{x^5}{10}-\frac{2x^3}{3}+\frac{3}{2}x\right]_0^1=2\left(\frac{1}{10}-\frac{2}{3}+\frac{3}{2}\right)=\frac{28}{15}$$