Aloha :)
Die Fläche \(B\) wird beschrieben durch alle Punkte \((x|y)\) mit \(x\in[0|1]\) und \(y\in[0|\sqrt x]\). Da die obere Grenze des \(y\)-Intervalls von der anderen Integrationsvariablen \(x\) abhängt, müssen wir zuerst über \(dy\) integrieren:
$$I=\iint\limits_By\cos(x^2)dA=\int\limits_0^1dx\int\limits_0^{\sqrt x}dy\,y\cos(x^2)=\int\limits_0^1dx\,\cos(x^2)\int\limits_0^{\sqrt x}y\,dy$$$$\phantom{I}=\int\limits_0^1dx\,\cos(x^2)\left[\frac{y^2}{2}\right]_{y=0}^{\sqrt x}=\int\limits_0^1dx\,\cos(x^2)\cdot\frac{x}{2}=\frac{1}{4}\int\limits_0^1\cos(x^2)\,2x\,dx$$$$\phantom{I}=\frac{1}{4}\int\limits_0^1\cos(x^2)\,d(x^2)=\frac{1}{4}\left[\sin(x^2)\right]_0^1=\frac{1}{4}\sin(1)$$
