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Aufgabe:

(a) Skizzieren Sie die Menge
$$ D:=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1 \leq x^{2}+4 y^{2} \wedge x^{2}+y^{2} \leq 1\right\} $$
(b) Berechnen das Intgral
$$ \int \limits_{D}(|x|+|y|) d(x, y) $$
mit Hilfe von Symmetrieargumenten.

von

wie ist dieses \(\text d(x,y)\) zu verstehen? Ist$$\text d(x,y) = \text d(x \cdot y) = \text d A$$also eine Fläche oder ist $$\int_D |x| + |y|\, \text d(x,y) = \int_{D(x)} |x| \,\text dx + \int_{D(y)} |y| \, \text dy$$??

d(x,y)=dxdy=dA

ist hier die gängige Norm

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Aloha :)

Aus der Menge \(D\) betrachten wir zuerst die zweite Bedingung$$x^2+y^2\le1$$Wir können darin \(x\in[-1|1]\) frei wählen, sind dann aber, wegen \(y^2\le1-x^2\), bei der Wahl von \(y\) eingeschränkt. Die Bedingung begrenzt unsere Wahl also wie folgt:$$-1\le x\le 1\quad;\quad -\sqrt{1-x^2}\le y\le \sqrt{1-x^2}$$Nun betrachten wir die erste Bedinung aus der Menge \(D\):$$x^2+4y^2\ge1$$Wir stellen fest, dass der Wertebereich für \(x\) nicht weiter eingeschränkt wird, denn für \(x\in[-1|1]\) ist \(4y^2\ge1-x^2\ge0\), sodass die implizite Bedingung \(y^2\ge0\) nicht verletzt wird. Allerdings müssen wir die Forderung \(y^2\ge\frac{1-x^2}{4}\) erfüllen, sodass wir weitere Einschänkungen bei der Wahl von \(y\) hinnehmen müssen:$$-1\le x\le 1\quad;\quad y\ge\frac{\sqrt{1-x^2}}{2}\;\;\lor\;\;y\le-\frac{\sqrt{1-x^2}}{2}$$

~plot~ sqrt(1-x^2)/2 ; sqrt(1-x^2) ; -sqrt(1-x^2)/2 ; -sqrt(1-x^2) ; [[-1,5|1,55|-1,1|1,1]] ~plot~

Die Punktmenge \(D\) liegt zwischen dem Außenkreis und der inneren Ellipse. Sie ist symmetrisch um den Koordinatenursprung verteilt. Im ersten Quadranten können wir ihre Punkte wie folgt parametrisieren:$$0\le x\le 1\quad;\quad \frac{\sqrt{1-x^2}}{2}\le y\le\sqrt{1-x^2}\quad\text{(im ersten Quadranten)}$$

Wegen \(|\pm x|+|\pm y|=|x|+|y|\) ist auch der Integrand punktsymmetrisch zum Ursprung, sodass wir uns beim Integrieren auf den ersten Quadranten beschränken können:

$$I=\int_D\left(\,|x|+|y|\,\right)\,d(x,y)=4\cdot\int\limits_0^1dx\int\limits_{\sqrt{1-x^2}/2}^{\sqrt{1-x^2}}dy\left(x+y\right)$$$$\phantom{I}=4\cdot\int\limits_0^1dx\left[xy+\frac{y^2}{2}\right]_{y=\sqrt{1-x^2}/2}^{\sqrt{1-x^2}}$$$$\phantom{I}=4\cdot\int\limits_0^1dx\left[x\left(\sqrt{1-x^2}-\frac{\sqrt{1-x^2}}{2}\right)+\frac{(1-x^2)-\frac{1-x^2}{4}}{2}\right]$$$$\phantom{I}=4\cdot\int\limits_0^1dx\left[\frac{x}{2}\sqrt{1-x^2}+\frac{3}{8}(1-x^2)\right]=\int\limits_0^1 2x\sqrt{1-x^2}\,dx+\frac{3}{2}\int\limits_0^1(1-x^2)dx$$$$\phantom{I}=\left[-\frac{2}{3}(1-x^2)^{3/2}\right]_0^1 +\frac{3}{2}\left[x-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=0-\left(-\frac{2}{3}\right)+\frac{3}{2}\left(\frac{2}{3}-0\right)=\frac{5}{3}$$

von 128 k 🚀

Hallo Tschakabumba, könntest du mir vielleicht Bei diesen Aufgaben auch helfen? Danke schön für deine Bemühungen.:)


https://www.mathelounge.de/743109/integral-berechnen-analysis


https://www.mathelounge.de/743110/volumen-voi3-integral-berechnen

... .... .......... :)

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Es handelt sich um die Fläche zwischen einer Ellipse und dem die Ellipse umschließenden Kreis (beide in Ursprungslage). Die Koordinatenachsen teilen diese Fläche in 4 kongruente Teilflächen, damit genügt eine Betrachtung im ersten Quadranten (und da sind die Betragsstriche nicht erforderlich).

von 45 k

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