0 Daumen
170 Aufrufe

Hallo,


ich habe die Barometrische Höhenformel gegeben:

p(h1)=p(h0) \( (1- \frac{k-1}{k}  · \frac{MgΔh}{RT(h0)}) ^{\frac{k}{k-1}} \)

Ich soll nun zeigen dass, wenn k → 1 läuft daraus die Formel p1(h1)=p(h0) \( e^{-\frac{MgΔh}{RT(h0)}} \) entsteht.

Kann mir jemand hier helfen? Ich hätte hier die Exponentialfunktion und dann l'Hospital benutzt aber komm da bei der Rechnung nicht weiter. Ist das die richtige Fährte?


Würde mich über jede Hilfe freuen :)

Avatar von

1 Antwort

0 Daumen

Aloha :)$$\lim\limits_{k\to1}\left(1-\frac{k-1}{k}\cdot F\right)^{\frac{k}{k-1}}=\lim\limits_{k\to1}\left(1-\frac{F}{\frac{k}{k-1}}\right)^{\frac{k}{k-1}}=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1-\frac{F}{n}\right)^n=e^{-F}$$Für \(k\to1\) geht \(\frac{k}{k-1}\to\infty\), daher ersetzen wir \(\frac{k}{k-1}\) durch \(n\) und lassen \(n\to\infty\) gehen. Es ensteht der bekannte Grenzwert \(e^x=\lim\limits_{n\to\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n\)

Jetzt musst du nur noch den Vorfaktor \(p(h_0)\) dazu schreiben und \(F\) durch den dicken Bruch ersetzen.

Avatar von 148 k 🚀

Sehr elegant, dankeschön :)

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Ähnliche Fragen

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community