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Beweisen sie das Korollar:

Korollar:
Sei X ein kompakter topologischer Raum und Y teilmenge von X abgeschlossener Unterraum, dann ist Y kompakt

Beweis:
In der Vorlesung wurde kompakt definiert als quasi kompakt und Haussdorf. Hausdorf ist klar, da ein Unterraum von einen Hausdorf Raum wieder Hausdorf ist. Aber wieso gilt, dass Y quasi-kompakt ist?

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Was versteht ihr unter quasi kompakt? Dass jede offene Überdeckung eine endliche Teilüberdeckung enthält?

ja genau, dass ist unsere Definition von quasi-kompakt

Dann überleg dir doch einmal:

- Wenn Y in X abgeschlossen ist, welche Eigenschaft hat dann das Komplement \( Y^c \)?

- Wenn du dir eine beliebige offene Überdeckung von \( Y \) wählst, z.b. \( Y = \bigcup_{i\in I} U_i \). Welche offene Menge könntest du dann hinzunehmen um eine offene Überdeckung von \( X \) zu erhalten? Was kannst du dann über diese neue Überdeckung sagen? Was folgt daraus für die ursprüngliche Überdeckung?

- das Komplement CY muss offen sein, da abgeschlossene Mengen solche sind, deren Komplement offen sind.

- Also könnte man, wenn ich mich nicht irre, die Vereingung des Komplements und der offenen Überdeckung Ui als eine offene Überdeckung von X wählen (hier bin ich mir etwas unsicher, wieso das genau eine offene Überdeckung von x ist, aber ich glaube die Wahl dieser Vereinigung müsste stimmen)

zu dieser neuen Überdeckung muss es folglich ja auch eine endliche Teilüberdeckung geben, da X quasi-kompakt ist und dies nach Definition gegeben ist.

d.h es muss eine endliche Indexmenge J Teilmenge I existieren, so dass die Vereinigung des Komplements mit der Verneinung aller i Element J von Oi = X sind

Was folgt daraus für die ursprüngliche Überdeckung?

nun hänge ich an der Folgerung

1 Antwort

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Beste Antwort

Das geht ja schon in eine richtige Richtung.

Sei \( \bigcup_{i\in I} U_i = Y \) eine offene Überdeckung von \( Y \), d.h. \( U_i \subseteq Y \) ist bzgl. der induzierten Topologie offen. Die induzierte Topologie auf \( Y \) besteht ja aus den Mengen der Form \( O \cap Y \) wobei \( O \subseteq X \) offen.

Man findet also \( O_i \subseteq X \) offen mit \( U_i = O_i \cap Y \).

Also $$ Y = \bigcup_{i\in I} U_i = \bigcup_{i\in I} O_i \cap Y = \left( \bigcup_{i\in I} O_i\right) \cap Y $$

Also könnte man, wenn ich mich nicht irre, die Vereingung des Komplements und der offenen Überdeckung Ui als eine offene Überdeckung von X wählen

Ja genau

$$ X = Y \cup Y^c = \left( \bigcup_{i\in I} O_i \cap Y\right) \cup Y^c =  \bigcup_{i\in I} O_i \cup Y^c $$

ist eine offene Überdeckung von X

zu dieser neuen Überdeckung muss es folglich ja auch eine endliche Teilüberdeckung geben, da X quasi-kompakt ist und dies nach Definition gegeben ist.

d.h es muss eine endliche Indexmenge J Teilmenge I existieren, so dass die Vereinigung des Komplements mit der Verneinung aller i Element J von Oi = X sind

Genau. Es existiert also \( J \subseteq I \) endlich s.d.

$$ X = \bigcup_{i\in J} O_i \cup Y^c $$

eine endliche Teilüberdeckung ist. Eventuell ist das Komplement auch eine nötige Menge in der offenen Überdeckung, falls nicht kann man es aber trotzdem einfach zur Überdeckung hinzunehmen. Die Überdeckung bleibt dann ja trotzdem endlich.

Was folgt daraus für die ursprüngliche Überdeckung?

Was kannst du jetzt über

$$ \bigcup_{i\in J} U_i = \bigcup_{i\in J} (O_i \cap Y) $$

sagen? Verwende, dass \( Y = X \cap Y \).

Avatar von 1,3 k

Ich schätze, dass es darauf hinlaufen soll, dass dies eine Überdeckung von Y sein muss, ich verstehe aber nicht, wieso

Wie kannst du denn

$$ \left(  \bigcup_{i\in J} O_i \cup Y^c \right) \cap Y $$

vereinfachen?

der fordere Teil ergibt ja ganz X, da dies die Überdeckung ist.

daraus würde der schnitt von X und Y folgen und der schnitt von von X und Y ist ja eben wieder Y, da Y Teilmenge von X ist

wäre dann somit die Vereinigung ieJ Oi eine endliche Teilüberdeckung zu der offenen Überdeckung Ui in Y ?

Ja, es ist

$$ Y = \left(  \bigcup_{i\in J} O_i \cup Y^c \right) \cap Y $$

aber wende auf der rechten Seite mal das Distributivgesetz an, was erhältst du dann?

man erhält die Vereinigung von Oi mit Y und die Vereinigung von Y und dem Komplement von Y, welche eben die leere Menge ist also folgt daraus Wiederrum, dass (Oi ∩Y) bereits eine Überdeckung darstellt

$$ Y = \left(  \bigcup_{i\in J} O_i \cup Y^c \right) \cap Y = \bigcup_{i\in J} (O_i \cap Y) \cup (Y^c \cap Y) = \bigcup_{i\in J} (O_i \cap Y) = \bigcup_{i\in J} U_i $$

darauf wollte ich hinaus. Und rechts steht dann eine endliche Teilüberdeckung von der am Anfang beliebig gewählten Überdeckung.

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