Bestimmen sie a1 und a2.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktionenschar \( f_a(x)=a(x+1)+\frac{1}{3} \cdot \sqrt{x^2+1} \)

Sei \( a > 0 \). \( f_a \) besitzt Extrema für den Fall \( a_1<a<a_2 \). Bestimmen sie \( a_1 \) und \( a_2 \). Auf die hinreichende Bedingung für die Existenz der Extrema kann verzichtet werden.

Problem/Ansatz:

Ich habe mir hierbei gedacht, dass man erstmal die Ableitung der Funktion bilden muss.

Hierbei kam ich auf \( f'_a(x)=a+ \frac{x}{3\sqrt{x^2+1}} \)

Leider weiß ich nicht, wie ich jetzt weiter machen soll. Ich habe die Nullstellen der Ableitung versucht zu berechnen, komme aber auf kein vernünftiges Ergebnis.

Ich wäre für jegliche Hilfe sehr Dankbar.

Answer 1

f '(x)=\( \frac{3a\sqrt{x^2-1}+x}{3\sqrt{x^2+1}} \).

Ein Bruch wird Null, wenn der Zähler Null ist:

3a·\( \sqrt{x^2+1} \)+x=0 für x=\( \frac{3a}{\sqrt{1-9a^2}} \)

Dann muss 1-9a²>0 sein.

Also -\( \frac{1}{3} \)<a<\( \frac{1}{3} \)

Comments

Vielen Dank!

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@DerSophist

Hast du den Lösungsweg nachvollziehen können (insbesondere die Umformung der Gleichung nach x), oder warst du einfach nur froh, dass du jemanden gefunden hast, der dir eine Lösung (egal ob richtig oder nicht) geschickt hat?

Der zeitliche Abstand zwischen Lösung und euphorischem Dank erscheint mir sehr kurz.

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Ja, ich hatte tatsächlich mit meiner Rechnung die gleiche Lösung.

Dachte irgendwie, dass es da einen "besseren" Weg gibt, aber im Grunde habe ich das gleich gemacht.

Als ich die Lösung gesehen habe, also dass -1/3<a<1/3 ist, war die Euphorie groß und ich habe mich sofort bedankt und die Lösung quasi als die Bestätigung meiner eignen gesehen.

Keine Sorge, mir ist natürlich klar, dass es keinen Zweck hat irgendwelche Lösungen abzuschreiben ohne sie zu verstehen. Würde mir auch nichts bringen, da ich die Aufgabe eh nur als Teil meiner Abi-Vorbereitung gelöst habe, also keine HA oder ähnliches. ;D

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Ja, ich hatte tatsächlich mit meiner Rechnung die gleiche Lösung.

Das freut mich wirklich.

Habe also in Zukunft ein wenig mehr Selbstvertrauen. Und wenn du dir wirklich nicht sicher bist ob ein eigener vorhandener Lösungsweg der richtige ist, dann schreibe ihn doch einfach zur Begutachtung hier auf.

Das ist auf alle Fälle fairer, als mehrere Nutzer gleichzeitig deine sowieso schon vorhandene Lösung selbst ausrechnen zu lassen.

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Merke ich mir fürs nächste Mal. :D

Answer 2

Ich habe die Nullstellen der Ableitung versucht zu berechnen, komme aber auf kein vernünftiges Ergebnis.

Das können wir nicht beurteilen. Vielleicht war dein Ergebnis vernünftig, und du bist nur nicht in der Lage zu erkennen, dass es vernünftig ist?

Lass dein Ergebnis mal sehen...