Notation/Schreibweise unklar

Question

Aufgabe:

Was bedeutet hier t?

f:X=[0,2pi)->Y= {(x,y)∈R²:x²+y²=1, t-> (cos(t),sin(t))

Bzw. was hat t-> (cos(t),sin(t)) mit den restlichen ausdruck zu tun?

Comments

Das beschreibt die Abbildungsvorschrift. Du könntest auch

$$ f(t) = (\cos(t), \sin(t)) $$

o.Ä. schreiben. Beachte aber, dass dort ein \( t \mapsto ... \) stehen muss und kein \( t \to ... \).

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Was hat f(t) dann aber mit dem restlichen Term zu tun?

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$$ \color{red}f : \color{green} X = [0,2\pi) \color{blue} \to \color{orange} Y= \{(x,y) \in \mathbb R^2 ~|~ x^2+y^2 = 1\}, \color{darkblue} t \color{purple} \mapsto \color{brown} (\cos(t), \sin(t)) $$

heißt

- f ist eine Funktion

- vom Definitionsbereich \( X = [0,2\pi) \)

- in den

- Wertebereich \( Y = \{(x,y) \in \mathbb R^2 ~|~ x^2+y^2 = 1\} \)

- Ein Element \( t \in X \)

- wird abgebildet auf

- das Element \( (\cos(t),\sin(t)) \in Y \) 

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Also darf ich in f(t) die werte von X einsetzen? Also cos(0), sin(0),...

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Ja genau, du kannst für t beliebige Werte aus X einsetzen und bekommst dann Werte aus Y raus.

Und wie du richtig sagst wird die 0 auf (cos(0), sin(0)) abgebildet.

Also f(0) = (cos(0), sin(0))

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Wenn man jetzt hier von f die umkehrabb. Bilden möchte, wäre das dann einfach arccos, arcsin?

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Nein, die Umkehrabbildung (existiert da f bijektiv) muss einem Element von \( y \in Y \) ein Element von \( x \in X \) zurodnen (und zwar genau das mit \( f(x) = y \)):

$$ f^{-1} : Y \to X, (x,y) \mapsto \begin{cases} \arccos(x) & \text{falls } y \ge 0\\ 2\pi -\arccos(x) & \text{falls } y > 0 \end{cases} $$

wäre z.B. eine Möglichkeit die Umkehrfunktion darzustellen.

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Danke, wie genau bist du darauf gekommen?

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Und ware f^-1 dann unstetig in 0?

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Es sollte in der zweiten Bedingung y<0 heißen. Du musst halt überlegen, wie f^-1 aussehen muss, dass t = f^-1( f(t) ) gilt.

aber warum ssollte die Umkehrfunktion unstetig in 0 sein? Sie ist ja gar nicht in 0 definiert?!

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Sie wäre also stetig?

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Nein, sie ist in (1,0) nicht stetig. Das sieht man leicht wenn man eine Folge nimmt die im Uhrzeigersinn/von oben und eine gegen den Uhrzeigersinn/von unten betrachtet

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Wenn man aber doch den limes für x gegen 0 betrachtet, kommt doch jeweils 0 und 2pi raus, oder nicht?

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0 ist kein Element von Y!! Du kannst Limites gegen (1,0) betrachten.

Answer 1

Der erste Pfeil ist eine Abbildung von Mengen aufeinander, der zweite Pfeil eine Abbildung von der Variable auf die eigentliche Abbildung