Wie berechnet man Matrix A2021?

Question

Aufgabe:

(a) Es sei A ∈ Mat_2×2(R) eine Matrix, für die
1) A² + A + E₂ =0
2) A² =

1	-1
3	-2

gilt. Was ist A²⁰²¹?

Problem/Ansatz:

Hallo, kann mir jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen? Ich weiß nicht, wie ich auf die Matrix A²⁰²¹  kommen soll.

Answer 1

Hallo :-)

Du kannst doch mal die gegebene Matrixgleichung nach $A$ umstellen. Dann hast du also

$A=-A^2-I_2=\begin{pmatrix}-2&1\\-3&1\end{pmatrix}$.

Jetzt kannst du einfach mal einige Potenzen von $A$ ausrechnen. Was stellst du danach fest?

Comments

Hallo :),

Wenn ich A2 und A4 berechne, habe ich die Matrix

1	-1
3	-2

heraus. Das heiß, dass bei jeder geraden Potenz diese Matrix herauskommt und bei ungeraden Potenzen kommt

-2	1
-3	1

heraus. Heißt das dann, dass A 2021 auch

-2	1
-3	1

ist, denn die Potenz 2021 ist ungerade?

---

Nein. Berechne doch mal die Potenzen $A^1$, $A^2$, $A^3$ und $A^4$.

---

Also wenn ich A3 berechne, erhalte ich die Einheitsmatrix

1	0
0	1

2021÷3= 673.67

A²⁰²¹-A²⁰¹⁹= A2021-(A³)⁶⁷³)= A^{2 =}

1	-1
3	-2

A²⁰²¹=A²=

1	-1
3	-2

Answer 2

Hallo

du hast doch A²=-E-A  dann A³=-A -A²   A⁴=-A²-A³

wahrscheinlich gibt sich nach wenigen Schritten eine Regelmäßigkeit.

Gruß lul

Answer 3

Zunächst einmal kannst du A² in A² + A + E₂ = 0 einsetzen, um A zu erhalten.

Berechne dann A², A³, ... Was fällt dir bei A³ auf? Nutze dies um A²⁰²¹ = A² zu erhalten, wobei du A² ja kennst.