Beweis mithilfe von vollständiger Induktion bei schwieriger Produktzeichen-Gleichung.

Question

Aufgabe:

Ich möchte folgende Aussage mithilfe von vollständiger Induktion für alle n≥1 beweisen:

$\prod_{k=1}^{n}{(1+\frac{1}{n+k})}$ = 2-$\frac{1}{n+1}$

Problem/Ansatz:

Ich habe bereits den Induktionsanfang, die Induktionsvoraussetzung und Induktionsbehauptung bestimmt. Da hat alles geklappt. Doch beim Induktionsschluss bin ich bei folgender Gleichung auf Probleme gestoßen:

$\prod_{k=1}^{n+1}{(1+\frac{1}{n+1+k})}$ = $\prod_{k=1}^{n}{(1+\frac{1}{n+k})}$ · (1+$\frac{1}{(n+1)+(n+1)}$)

Erste Frage ist ob die Gleichung beim Induktionsschluss so richtig ist oder ob mir da bereits beim aufstellen der Gleichung ein Fehler unterlaufen ist. Und falls sie korrekt ist, wie man diese nun richtig auflöst, da bei mir immer sinnlose Gleichungen rauskommen. Würde mich über Hilfe sehr freuen.

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

Du warst etwas zu schnell mit dem Abspalten des $(n+1)$-Faktors aus dem Produkt. Wir brauchen zur Verwendung der Induktionsvoraussetzung im Nenner $(n+k)$, haben aber $(n+1+k)$. Daher empfehle ich als ersten Schritt eine Indexverschiebung:

$$\prod\limits_{k=1}^{n+1}\left(1+\frac{1}{n+1+k}\right)=\prod\limits_{k=2}^{n+2}\left(1+\frac{1}{n+1+(k-1)}\right)=\prod\limits_{k=2}^{n+2}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)$$

Das kannst du so umformen, dass die Induktionsvoraussetzung angewendet werden kann:$$=\left(1+\frac{1}{n+(n+2)}\right)\left(1+\frac{1}{n+(n+1)}\right)\prod\limits_{k=1}^{n}\left(1+\frac{1}{n+k}\right)\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}$$Die vorderen beiden Faktoren wurden von der oberen Index-Grenze abgleitet. Um den Index bei $k=1$ beginnen zu lassen, brauchen wir den letzten Faktor. Nun wird die Induktionsvoraussetzung eingesetzt:$$=\left(1+\frac{1}{n+(n+2)}\right)\left(1+\frac{1}{n+(n+1)}\right)\left(2-\frac{1}{n+1}\right)\cdot\frac{1}{1+\frac{1}{n+1}}$$

Das sieht erstmal fürchterlich aus, aber wenn wir jeden dieser 4 Faktoren als einen Bruch schreiben, fällt das alles in sich zusammen$$=\frac{2n+3}{2n+2}\cdot\frac{2n+2}{2n+1}\cdot\frac{2n+1}{n+1}\cdot\frac{n+1}{n+2}=\frac{2n+3}{n+2}=\frac{2n+4-1}{n+2}=2-\frac{1}{n+2}\quad\checkmark$$

Comments

Vielen Dank für die ausführliche und gute Antwort. Hat mir sehr geholfen.

Answer 2

Hallo,

den Induktionsanfang lasse ich weg (einfach).

Gruß