Auf dem dem Vektoraum [0,1] der stetigen Funktionen

Question

Aufgabe:

Auf dem Vektoraum \( C[0,1] \) der stetigen Funktionen \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) erklären wir
\( \|f\|_{1}:=\int \limits_{0}^{1}|f(x)| d x \text { und }\|f\|_{\infty}:=\sup _{0 \leq x \leq 1}|f(x)| \)
(a) Zeigen Sie, dass durch \( \|\cdot\|_{1} \) eine Norm auf \( C[0,1] \) gegeben wird.
(b) Zeigen Sie, dass durch \( \|\cdot\|_{\infty} \) eine Norm auf \( C[0,1] \) gegeben wird.
(c) Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) sei \( p_{n}(x):=x^{n} . \) Bestimmen Sie \( \left\|p_{n}\right\|_{1} \) und \( \left\|p_{n}\right\|_{\infty} \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \)
(d) Sind die Normen \( \|\cdot\|_{1} \) und \( \|\cdot\|_{\infty} \) äquivalent?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass durch \|\cdot\|_{1} eine Norm auf C[0,1] gegeben wird.

Stichworte: norm,analysis

Aufgabe:

4. Auf dem Vektoraum \( C[0,1] \) der stetigen Funktionen \( f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R} \) erklären wir
\( \|f\|_{1}:=\int \limits_{0}^{1}|f(x)| d x \text { und }\|f\|_{\infty}:=\sup _{0 \leq x \leq 1}|f(x)| \)
(a) Zeigen Sie, dass durch \( \|\cdot\|_{1} \) eine Norm auf \( C[0,1] \) gegeben wird.
(b) Zeigen Sie, dass durch \( \|\cdot\|_{\infty} \) eine Norm auf \( C[0,1] \) gegeben wird.
(c) Für \( n \in \mathbb{N}_{0} \) sei \( p_{n}(x):=x^{n} \). Bestimmen Sie \( \left\|p_{n}\right\|_{1} \) und \( \left\|p_{n}\right\|_{\infty} \) für alle \( n \in \mathbb{N}_{0} \)
(d) Sind die Normen \( \|\cdot\|_{1} \) und \( \|\cdot\|_{\infty} \) äquivalent?

Answer 1

Welche Eigenschaften muss eine Norm erfüllen? Wo hast du Schwierigkeiten diese nachzurechnen?

bei c musst du ein Polynom integrieren. Das lernt man eigentlich bereits in der Schule, wo liegen dort für dich die Schwierigkeiten? Weißt du wie das Supremum definiert ist?

Wann sind zwei Normen äquivalent?