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Aufgabe:

Bestimmen Sie die Funktionen, die durch die folgenden Potenzreihen dargestellt werden.


Problem/Ansatz:

a) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n x^{n} \)
b) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n(n-1) x^{n} \)

c) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n^{2} x^{n} \)
d) \( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n-2}}{n !} \)

Irgendwie denke ich glaub ich falsch. Muss ich da einfach sowas aufschreiben wie zbsp. A) : 0*x^0 + 1*x^1 ...

Oder was wollen die?

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Hallo,

Du sollst die Reihen als Varianten bekannter Reihen identifizieren. Für die ersten 3 Aufgaben brauchst Du die geometrische Reihe, für die letzte die Exponenttialreihe.

Zum Beispiel a)

$$\sum_{n=0}^{\infty}nx^n=\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=x \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=x \sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx}x^n$$

$$=x \frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}x^n=x \frac{d}{dx}(1-x)^{-1}=x(1-x)^{-2}$$

In ähnlicher Weise musst Du die beiden anderen Reihen auf die geometrische zurückführen.

Gruß Mahhilf

Avatar von 13 k

Könntest du c) und d) auch eventuell vorrechnen? ich versuche alles aber ich komme da echt nicht weiter..

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