Bestimmen Sie die Funktionen, die durch die folgenden Potenzreihen dargestellt werden.

Question

Aufgabe:

Bestimmen Sie die Funktionen, die durch die folgenden Potenzreihen dargestellt werden.

Problem/Ansatz:

a) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n x^{n} \)
b) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n(n-1) x^{n} \)

c) \( \sum \limits_{n=0}^{\infty} n^{2} x^{n} \)
d) \( \sum \limits_{n=2}^{\infty} \frac{x^{n-2}}{n !} \)

Irgendwie denke ich glaub ich falsch. Muss ich da einfach sowas aufschreiben wie zbsp. A) : 0*x^0 + 1*x^1 ...

Oder was wollen die?

Answer 1

Hallo,

Du sollst die Reihen als Varianten bekannter Reihen identifizieren. Für die ersten 3 Aufgaben brauchst Du die geometrische Reihe, für die letzte die Exponenttialreihe.

Zum Beispiel a)

$$\sum_{n=0}^{\infty}nx^n=\sum_{n=1}^{\infty}nx^n=x \sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1}=x \sum_{n=1}^{\infty}\frac{d}{dx}x^n$$

$$=x \frac{d}{dx}\sum_{n=1}^{\infty}x^n=x \frac{d}{dx}(1-x)^{-1}=x(1-x)^{-2}$$

In ähnlicher Weise musst Du die beiden anderen Reihen auf die geometrische zurückführen.

Gruß Mahhilf

Comments

Könntest du c) und d) auch eventuell vorrechnen? ich versuche alles aber ich komme da echt nicht weiter..