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Willkommen in der Mathelounge... \o/
Die ursprüngliche Summe$$S_1=\sum\limits_{n=0}^\infty\frac{n}{3^n}x^{n^2}=\frac13x+\frac{2}{3^2}x^4+\frac{3}{3^3}x^9+\cdots=\frac{\sqrt 1}{3^{\sqrt1}}x^1+\frac{\sqrt4}{3^{\sqrt4}}x^4+\frac{\sqrt9}{3^{\sqrt9}}x^9+\cdots$$ist für Konvergenzbetrachtungen ungeeignet, da nur Summanden mit quadratische Potenzen von \(x\) auftauchen. Wir ergänzen daher die fehlenden Potenzen von \(x\) mit Null als entsprechendem Koeffizienten:$$S_1=\sum\limits_{k=0}^\infty a_k\cdot x^k\quad;\quad a_k\coloneqq\left\{\begin{array}{cl}\frac{n}{3^n} & \text{falls }k=n^2\\[1ex]0 &\text{sonst}\end{array}\right.$$
Nach Cauchy-Hadamard ist nun der Konvergenzradius$$r=\frac{1}{\lim\limits_{k\to\infty}\text{sup}\sqrt[k]{|a_k|}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n^2]{\frac{n}{3^n}}}=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n]{\frac{n}{3^n}}}}=\frac{1}{1}=1$$Wegen \(\sqrt[n]{n}\to1\) geht die innere Wurzel gegen \(\frac13\) und die äußere daher gegen \(1\).
Die Folge konvergiert also sicher für \(|x|<r=1\).
Für den Rand \((x=1)\) gilt:$$\small S_1=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{3^n}\quad\text{und}\quad \frac{S_1}{3}=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{3^{n+1}}=\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{n-1}{3^n}=\sum\limits_{n=2}^\infty\left(\frac{n}{3^n}-\frac{1}{3^n}\right)\quad\implies$$$$\small\frac23S_1=S_1-\frac{S_1}{3}=\frac13+\sum\limits_{n=2}^\infty\frac{1}{3^n}=\sum\limits_{n=0}^\infty\left(\frac13\right)^n-1=\frac{1}{1-\frac13}-1=\frac12\quad\implies\quad S_1=\frac34$$
Weil die Quadratzahlen zwischen ungerade und gerade wechseln, gilt \((-1)^{n^2}=(-1)^n\), und wir können die Summe für \((x=-1)\) wie folgt formulieren$$S_1=\sum\limits_{n=1}^\infty\frac{n}{3^n}(-1)^n$$Wegen \(\left(\frac{x}{3^x}\right)'=\frac{1-x\ln(3)}{3^x}\) ist die Ableitung für \(x>\frac{1}{\ln(3)}\approx0,91\) negativ, sodass für \(n\ge1\) die Folge \((\frac{n}{3^n})\) streng monoton fällt. Eine Nullfolge muss sie sein, weil Konvergenz für \((x=1)\) vorliegt. Nach dem Leibniz-Kriterium konvergiert daher die Summe.
Damit können wir den Konvergenzbereich der Potenzreihe angeben: \(\boxed{\pink{x\in[-1;1]}}\).
Ich habe leider keine Zeit mehr für die zweite Teilaufgabe, weil meine Frau und ich gleich zum Tanzen müssen. Du solltest sie aber mit Cauchy-Hadamard unter Bachtung des Limes Superior nun selbst hinkriegen.
Falls nicht, frag einfach nochmal nach. Ich komme aber vermutlich erst morgen wieder zum Antworten.
