Zeigen Sie, dass ein Element y ∈ Z[i] existiert

Question

Aufgabe:

Fur eine komplexe Zahl x ∈ C bezeichne wieder |x| den Absolutbetrag

.
(1) Sei x ∈ C. Zeigen Sie, dass ein Element y ∈ Z[i] existiert mit
|x − y|2  ≤ 0.5.

(2) Zeigen Sie, dass Z[i] ein euklidischer Ring ist.
Hinweis. Betrachten Sie die Abbildung
δ : Z[i] \ {0} −→ N, x → |x|2
und zeigen Sie, dass es sich um eine Gradabbildung handelt. Benutzen Sie Teil (1).

Problem

Wir haben mit einem neuen Thema angefangen und ich werde aus der Aufgabe nicht schlau.

Kann mir jemand eine Idee geben damit ich Sie lösen kann:(

Ich muss genug Punkte sammeln für meine Klausurzulassung

Answer 1

(1) Sei x=a+bi mit a,b ∈ ℝ. Zu jeder reellen Zahl a gibt es eine ganze

Zahl die n, die zu a einen Abstand ≤ 0,5 auf der Zahlengerade hat.

Wähle so ein n zu a und ein m zu b dann gilt

|a-n| ≤ 0,5 und | b-m| ≤ 0,5

also |a-n| ^2 ≤ 0,25 und | b-m| ^2  ≤ 0,25

==>    |a-n| ^2  +  | b-m| ^2  ≤ 0,5

==>    (a-n) ^2  +  |(b-m) ^2  ≤ 0,5

Mit x= a+bi und y=n+mi heißt das

       | x-y|^2  ≤ 0,5 .  q.e.d

(2) Teste die Ringaxiome für Z[i].

     Gradabbildung kenne ich nicht.