Beweisen oder widerlegen mittels Induktion

Question

Aufgabe:

Es sei folgende Aussage gegeben: ∀n∈N: Ιa_n+1 - a_nΙ ≤ \( \frac{1}{4^n-1} \)

Beweist den Wahrheitsgehalt dieser Aussage durch Induktion.

Wie mache ich das am besten?

Comments

Da müsste man den Term für a_n kennen.

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Hallo, es war nur gegeben, dass die Folge (a_n)n∈ℕ für alle n∈ℕ beschränkt ist

Answer 1

Gegenbeispiel: Die Folge mit a_n = (-1)^n ist beschränkt.

| a_n+1-a_n| =  2 für alle n>0. Aber 1 / ( 4^n -1) hat schon für n=1 den Wert 1/3 < 2.

Also ist |a2-a1| > 1/(4^1-1). Somit die Aussage für n=1  falsch.

Comments

Warum ist |a_n+1 - a_n| = 1?

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aⁿ = (-1)ⁿ ==>  Die Folgenglieder sind immer abwechseln +1 und -1 ,

also ist der Betrag der Differenz immer gleich 2. Hups, da hatte

ich mich vertippt. Aber die Überlegung stimmt ja dann erst recht.

Ich korrigiere das.