a_1,...,a_n mit \Pi_{i=1}^{n}a_i = 1: Induktion für \sum_{i=1}^{n}a_i \geq n

Question

Aufgabe:

Für $$n \in \mathbb{N}$$ seien $$a_1,...,a_n$$ positive reelle Zahlen mit $$\Pi_{i=1}^{n}a_i = 1$$. Zeige, dass dann $$\sum_{i=1}^{n}a_i \geq n$$ gilt.

Problem/Ansatz:

Mein Ansatz wäre, dies über Induktion zu zeigen. Allerdings bin ich mir nicht sicher, ob ich die Rolle von $$\Pi_{i=1}^{n}a_i = 1$$ richtig interpretiert habe - für mich heißt das, dass auch $$\Pi_{i=n+1}^{n+1}a_i = 1$$ gilt, aber vielleicht verstehe ich das ja falsch? Hier mein Ansatz:

Anfang: $$n_0 = 0$$, daher gilt $$\sum_{i=1}^{0}a_i = 0 \geq 0 = n$$

Induktionsschritt: $$n \to n + 1$$

$$\sum_{i=1}^{n+1}a_i = \sum_{i=1}^{n}a_i + a_{n + 1} \geq n + \Pi_{i=n + 1}^{n+1}a_i \geq n + 1$$

Answer 1

Hallo :-)

richtig interpretiert habe - für mich heißt das, dass auch

Ich glaube du meinst wohl \(\prod\limits_{i=1}^{n+1}a_i = 1\).

Dein Induktionsanfang ist richtig.

Comments

Danke für die rasche Antwort!

Etwas verwirrt bin ich aber noch: Im Induktionsschritt verwende ich ja $$\Pi_{i=n+1}^{n+1} = 1$$ und nicht $$\Pi_{i=1}^{n+1} = 1$$ oder?

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Nein. Es muss schon \(\prod\limits_{i=1}^{n+1} = 1\) geschrieben werden.

Außerdem sehe ich gerade, dass dein Induktionsschritt doch nicht funktioniert.

Die Gleichheit \(\sum\limits_{i=1}^{n+1}a_i = \sum\limits_{i=1}^{n}a_i + a_{n + 1}\) ist zwar richtig, verleitet aber jetzt dazu zu denken, dass dann doch auch \(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\geq n\) gilt. Das kann man hier so nicht sagen, denn:

Im Induktionsschritt hast du jetzt \(n+1\) positive Zahlen \(a_1,...,a_{n+1}\) gegeben mit \(\prod\limits_{i=1}^{n+1}a_i=1\). Damit kannst du also auch nichtsmehr brauchbares über \(\sum\limits_{i=1}^{n}a_i\) und \(\prod\limits_{i=1}^{n}a_i\) aussagen.

Ich schlage daher folgendes vor:

Du kannst ja die Indizes so anordnen, sodass O.B.d.A deine Zahlen \(a_1,...,a_n,a_{n+1}\) aufsteigend sortiert sind.

Damit gilt doch auch \(a_{n+1}\geq 1 \geq a_1\).

Jetzt bastel ich mir neue Zahlen: \(a_2,...,a_n,a_1\cdot a_{n+1}\), wobei hier nur die letzte Zahl anders ist. Trotzdem gilt aber \(a_2\cdot ... \cdot a_n\cdot (a_1\cdot a_{n+1})=1\).

Nach Induktionsvoraussetzung darf ich also folgende Abschätzung als wahr voraussetzen:

\(a_2+...+a_n+a_1\cdot a_n\geq n\)

Dann gilt weiter \(\begin{aligned}a_2+...+a_n+a_1\cdot a_n &\geq n\\\Leftrightarrow a_1+a_2+...+a_n+a_{n+1}&\geq n+a_1+a_{n+1}-a_1\cdot a_{n+1}\\\Leftrightarrow \sum\limits_{i=1}^{n+1} a_i &\geq n+a_1+a_{n+1}-a_1\cdot a_{n+1}\\&=n+1-1+a_1+a_{n+1}-a_1\cdot a_{n+1}\\&=n+1+(a_1-1)+a_{n+1}-a_1\cdot a_{n+1}\\&=n+1+(a_1-1)-a_{n+1}\cdot (a_1-1)\\&=n+1+\underbrace{(a_1-1)}_{\leq 0}\cdot \underbrace{(1-a_{n+1}}_{\leq 0})\\&\geq n+1 \end{aligned}\)

Und das war zu zeigen!